Approximationstheorie

2.1 Der Satz von Weierstraß 17
Mit diesen drei Identitäten erhalten wir, daß für jedes x ∈ [0, 1]
n
j=0
2 j
− x B
n n j (x) =
=
= n − 1
n
2 j j
− 2 x + x2
n2 n
j=0
n
j(j − 1)
j=0
n 2
B n j (x)
+ j
j
− 2 x + x2 B
n2 n n j (x)
n x2 + 1
n x − 2x2 + x 2 = 1
n
x(1 − x)
Diese Formel erlaubt es uns nun zu zeigen, daß die Basispolynome recht gut lokalisiert sind:
für δ > 0 und x ∈ [0, 1] ist
| j
n −x|≥δ
B n j (x) ≤ 1
δ 2
n
j=0
2 j
− x B
n n j (x) =
x(1 − x) 1
≤ . (2.3)
nδ2 4nδ2 Das war’s dann auch schon fast! Sei nun f ∈ C[0, 1], dann ist f ja nicht nur stetig, sondern
sogar gleichmäßig stetig, das heißt, für alle ε > 0 gibt es ein δ > 0 so daß
|x − y| < δ =⇒ |f(x) − f(y)| < ε
2 .
Sei also ε > 0 vorgegeben und δ > 0 passend gewählt. Dann ist, für beliebiges x ∈ [0, 1],
|f(x) − Bnf(x)| =
=
≤ ε
2
n
j=0
| j
n −x| ε −1 δ −2 f I .
Bemerkung 2.4 1. Eigentlich sind ja die Bernsteinpolynome auch wieder eine approximative
Identität, nur eben eine “diskrete”. Positivität haben wir nach wie vor, die Normiertheit
wird von einer Integralbedingung zur Summenbedingung (2.2) und die Lokalität finden
wir in (2.3).
2. Man sieht, daß die Bersteinpolynome umso schneller konvergieren, je “stetiger” die
Funktion f ist. Schließlich braucht man ja zu einem ε > 0 zuerst einmal den “Lokalisierungsparameter”
δ und n bestimmt man dann so, daß n > f
εδ 2 .