Approximationstheorie

16 2 POLYNOMAPPROXIMATION – DICHTHEITSAUSSAGEN
Satzes von Weierstraß für algebraische Polynome 15 , der 1912 von Bernstein 16 [8] gegeben wurde.
Definition 2.3 Für n ∈ N0 und 0 ≤ j ≤ n ist das j–te Bernstein–(Bézier17 )–Basispolynom
definiert als
B n
n
j (x) = x
j
j (1 − x) n−j
und zu einer Funktion f ∈ C[0, 1] das n–te Bernsteinpolynom als
n
j
Bnf = f
n
j=0
B n j . (2.1)
Beweis von Satz 2.2: Wir können zuerst einmal ohne Einschränkung annehmen, daß I = [0, 1]
ist, denn jedes andere Intervall läßt sich mit einer einfachen affinen Transformation auf diese
Gestalt bringen und die Supremumsnorm läßt sich von solchen Transformationen ohnehin nicht
beeindrucken. Es wird nicht weiter überraschen, daß wir beweisen, daß für jede stetige Funktion
f ∈ C(I) die Bernsteipolynome Bnf für n → ∞ gleichmäßig gegen f konvergieren.
Dazu bemerken wir zuerst, daß
n
sowie
n
und
n
j=0
j=0
j=0
j
n Bn j (x) =
= x
B n j (x) =
n j
n
j=0
j(j − 1)
n 2 B n j (x) =
= n − 1
= n − 1
n
j=1
n
j=0
n!
n
x
j
j (1 − x) n−j = (x + 1 − x) n = 1, (2.2)
j!(n − j)! xj (1 − x) n−j =
n
j=1
(n − 1)!
(j − 1)!(n − j)! xj−1 (1 − x) n−j n−1
= x
n
j=0
n
j(j − 1)
n 2
n
j=2
n x2 .
n!
j!(n − j)! xj (1 − x) n−j
(n − 1)!
(j − 1)!(n − j)! xj (1 − x) n−j
j=0
(n − 2)!
(j − 2)!(n − j)! xj (1 − x) n−j =
B n−1
j (x) = x
n − 1
n x2
n−2
j=0
B n−2
j (x)
15 Und in diesem Fall hat man leider keine Fourierreihen zur Verfügung.
16 Sergi Bernstein, 1880–1968, promovierte an der Sorbonne in Paris, Beiträge zur Numerischen Mathematik
wie auch zur Stochastik (auch Anwendungen in der Genetik!).
17 Pierre Bézier, 1910-1999, französicher Ingenieur, bei Renault für die Entwicklung von numerischen Systemen
zur Modellierung und Behandlung von Flächen zuständig. Überraschenderweise weist B´zier darauf hin, daß
er ziemlich genau 30 Jahre nach Bernstein an der “SupElec” (Ecole Supérieure d’Electricité) studierte und daß
Bernstein seine Bernsteinpolynome entwickelte, um für eine Versicherungsgesellschaft Wahrscheinlichkeitsverteilungen
zu plotten – dies ist allerdings eine unbewiesene Anekdote. Weitere Details in [59].