Approximationstheorie
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16 2 POLYNOMAPPROXIMATION – DICHTHEITSAUSSAGEN<br />
Satzes von Weierstraß für algebraische Polynome 15 , der 1912 von Bernstein 16 [8] gegeben wurde.<br />
Definition 2.3 Für n ∈ N0 und 0 ≤ j ≤ n ist das j–te Bernstein–(Bézier17 )–Basispolynom<br />
definiert als<br />
B n <br />
n<br />
j (x) = x<br />
j<br />
j (1 − x) n−j<br />
und zu einer Funktion f ∈ C[0, 1] das n–te Bernsteinpolynom als<br />
n<br />
<br />
j<br />
Bnf = f<br />
n<br />
j=0<br />
B n j . (2.1)<br />
Beweis von Satz 2.2: Wir können zuerst einmal ohne Einschränkung annehmen, daß I = [0, 1]<br />
ist, denn jedes andere Intervall läßt sich mit einer einfachen affinen Transformation auf diese<br />
Gestalt bringen und die Supremumsnorm läßt sich von solchen Transformationen ohnehin nicht<br />
beeindrucken. Es wird nicht weiter überraschen, daß wir beweisen, daß für jede stetige Funktion<br />
f ∈ C(I) die Bernsteipolynome Bnf für n → ∞ gleichmäßig gegen f konvergieren.<br />
Dazu bemerken wir zuerst, daß<br />
n<br />
sowie<br />
n<br />
und<br />
n<br />
j=0<br />
j=0<br />
j=0<br />
j<br />
n Bn j (x) =<br />
= x<br />
B n j (x) =<br />
n j<br />
n<br />
j=0<br />
j(j − 1)<br />
n 2 B n j (x) =<br />
= n − 1<br />
= n − 1<br />
n<br />
j=1<br />
n<br />
j=0<br />
n!<br />
<br />
n<br />
x<br />
j<br />
j (1 − x) n−j = (x + 1 − x) n = 1, (2.2)<br />
j!(n − j)! xj (1 − x) n−j =<br />
n<br />
j=1<br />
(n − 1)!<br />
(j − 1)!(n − j)! xj−1 (1 − x) n−j n−1<br />
= x<br />
n<br />
j=0<br />
n<br />
j(j − 1)<br />
n 2<br />
n<br />
j=2<br />
n x2 .<br />
n!<br />
j!(n − j)! xj (1 − x) n−j<br />
(n − 1)!<br />
(j − 1)!(n − j)! xj (1 − x) n−j<br />
<br />
j=0<br />
(n − 2)!<br />
(j − 2)!(n − j)! xj (1 − x) n−j =<br />
B n−1<br />
j (x) = x<br />
<br />
n − 1<br />
n x2<br />
n−2<br />
j=0<br />
B n−2<br />
j (x)<br />
15 Und in diesem Fall hat man leider keine Fourierreihen zur Verfügung.<br />
16 Sergi Bernstein, 1880–1968, promovierte an der Sorbonne in Paris, Beiträge zur Numerischen Mathematik<br />
wie auch zur Stochastik (auch Anwendungen in der Genetik!).<br />
17 Pierre Bézier, 1910-1999, französicher Ingenieur, bei Renault für die Entwicklung von numerischen Systemen<br />
zur Modellierung und Behandlung von Flächen zuständig. Überraschenderweise weist B´zier darauf hin, daß<br />
er ziemlich genau 30 Jahre nach Bernstein an der “SupElec” (Ecole Supérieure d’Electricité) studierte und daß<br />
Bernstein seine Bernsteinpolynome entwickelte, um für eine Versicherungsgesellschaft Wahrscheinlichkeitsverteilungen<br />
zu plotten – dies ist allerdings eine unbewiesene Anekdote. Weitere Details in [59].