Approximationstheorie

8.3 Der Beweis 175
Bemerkung 8.12 Dieses Argument zeigt auch, daß die Anzahl der Funktionen φ0, . . . , φ2s im
Satz 8.2 nicht ganz zufällig war. Damit das obige Argument mit m Funktionen, das heisst mit m
Verschiebungen von Intervallen funktioniert223 müssen wir für die m Verschiebungen und m − s
Überdeckungen von Würfeln die Beziehung s < 1 erhalten, denn sonst funktioniert die letzte
m−s
Abschätzung von oben nicht. Das liefert aber m − s < s oder eben m > 2s, also m ≥ 2s + 1.
Und jetzt haben wir es so gut wie geschafft.
Beweis von Satz 8.2: Wir bestimmen uns die Darstellung durch iterierte Approximation vermittels
Lemma 8.11. Sei g1 die in Lemma (8.17) gefundene Approximation und wenden wir
das Lemma erneut an, diesmal auf
und erhalten g2, so daß
2
2s
f
− g1 ◦ θj
=
sowie
k=1 j=0
Generell setzen wir
rn = f −
r1
2s
−
2s
r1 = f − g1 ◦ θj,
j=0
g2 ◦ θj
j=0
≤ µ r1
2s
= µ f
−
g2 ≤ 1
s + 1 r1 ≤ µ
s + 1 f.
n
2s
2s
n
g1 ◦ θj = f −
k=1 j=0
erhalten damit nach Lemma 8.11 ein gn+1 mit
2s
n
f
− gk ◦ θj
=
rn
2s
−
j=0
k=1
j=0
j=0
g2 ◦ θj
k=1
gk
j=0
g1 ◦ θj
◦ θj, n ∈ N,
≤ µ2f
≤ µn+1 f , gn+1 ≤ µn
s + 1 f
und damit konvergiert die Reihe der gk gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion mit der Eigenschaft
2s
2s
s
f = g ◦ θj = g
j=0
j=0
k=1
λk φj (xk)
was nun endlich (8.2) ist.
Bemerkung 8.13 Auch wenn der Beweis des Satzes von Kolmogoroff eigentlich konstruktiv ist,
gäbe es bei einer wirklichen Realisierung auf dem Computer doch noch einige Probleme zu
lösen:
223 Natürlich ist dies nur eine technische Einschränkung, die dafür sorgt, daß dieser Beweis funktioniert und es
schließt erst einmal nicht aus, daß es einen ganz anderen Beweis für das Resultat geben könnte, der mit weniger
Funktionen auskommt. Bekannt ist allerdings bis heute meines Wissens keiner!