Approximationstheorie

8.3 Der Beweis 173
zusammen, die durch die Funktionen
θj (x1, . . . , xs) :=
s
k=1
λk φj (xk)
auf die entsprechenden Jj abgebildet werden:
1 s
β , . . . , β 1 s
= Jj β , . . . , β , j = 0, . . . , 2s, ℓ β 1 = · · · = ℓ (β s ) . (8.16)
θj Ij
Nach Lemma 8.8 werden damit diese disjunkten Würfel auf disjunkte Intervalle abgebildet.
Alles, was wir bisher gemacht haben, betraf eigentlich immer die φj separat. Warum aber
brauchen wir eigentlich so viele davon? Nun, wenn wir uns die Intervalle Ij(β), ℓ(β) = n aus
(8.6), dann überdecken diese für festes j und n nicht das gesamte Intervall [0, 1], zusammen
hingegen schon:
[0, 1] =
2s
ℓ(β)=n j=0
Ij(β).
Lemma 8.9 Jeder Punkt x ∈ [0, 1] ist für jedes n ∈ N0 in mindestens 2s der Intervalle Ij(β),
j = 0, . . . , s, ℓ(β) = n, enthalten.
Beweis: Sei x ∈ (0, 1), dann gibt es 0 ≤ N < B n−1 so daß NB −n+1 < x ≤ (N + 1) B −n+1 .
Dieses x liegt in einem Intervall der Form
NB −n+1 + B −n ([1, B − 1] − 2j)
wenn
x − NB −n+1 =: y ∈ [1, B − 1] − 2j,
also j ∈ y/2 −
1 B−1
B−2
, . Dieses Intervall hat die Länge und enthält deswegen auch
2 2
2
B−2
2 = 2s ganzzahlige Werte, die einer passenden Verschiebung entsprechen220 . Damit ist x
in mindestens 2s dieser Intervalle enthalten und nachde die Intervalle für ein festes j disjunkt
sind, braucht man auch wirklich diese Variation über j.
Lemma 8.10 Jeder Punkt x ∈ [0, 1] s ist in mindestens s + 1 der Würfel
1 s
β , . . . , β , j = 0, . . . , 2s, ℓ β k = n,
enthalten.
Ij
Beweis: Wiederholte Anwendung von Lemma 8.9. Es gibt höchstens einen Index j, so daß x1
nicht von den Intervallen Ij (β 1 ), ℓ (β 1 ) = n, getroffen wird, unter den verbleibenden 2s kann
wieder höchstens ein Index nicht bei x2 erfolgreich sein und so weiter. Nach s Schritten bleiben
so mindestens s + 1 Indizes übrig.
Nach diesen vorbereitenden Zählbemerkungen nun zum Abschluss des Beweises von Satz 8.2,
nämlich zur Konstruktion einer “nicht schlecht” approximierenden nomographischen Funktion.
220 Achtung: Genau hier wird die Kopplung zwischen s und B aus (8.7) wichtig!