Approximationstheorie

172 8 DER SATZ VON KOLMOGOROFF
• aj,β ∈ (x, x + h), dann ist (x, x + h) ⊂ [bj,β ′, bj,β], wobei β ′ der Index des linken Nachbarintervalls
von Ij(β) ist.
• bj,β ∈ (x, x + h), dann ist (x, x + h) ⊂ [aj,β, aj,β ′], nur steht eben jetzt β′ für den Index
des rechten Nachbarn.
• Keiner Punkte liegt in (x, x + h), das dann entweder in einem Intervall oder einer Lücke
komplett enthalten ist, also sowohl in einem Intervall der Form [aj,β, aj,β ′] als auch in
einem der Form [bj,β ′, bj,β] liegt.
In allen drei Fällen gibt es also (mindestens) ein Intervall der Länge B −n+1 mit Randpunkten
a, a ′ der Stufe n und wegen der strikten Monotonie 218 von φj und 2) ist daher
φj (x + h) − φj(x) < φj (a ′ ) − φj (a) <
n B
(a
2
′ − a)
=B−n+1 < B2 −n = 2B 2 −n−1
= 2B B − log B 2 (n+1) = 2 2B −n−1 log B 2 ≤ 2h log B 2 ,
der in Lemma 8.8 angegebene Lipschitz–Exponent ist also ganz explizit α = log B 2 und wird
für wachsendes B, insbesondere also wegen (8.7) für wachsendes s, immer kleiner.
Nachdem der Beweis durch die unverzichtbaren technischen Details etwas kompliziert geworden
ist, fassen wir nochmal schnell die wesentliche Idee zusammen:
1. Zuerst definieren wir φj auf den Intervallen Ij (β) einer festen Stufe n konstant mit rationalem
Wert. Damit ist dann φj (Ij (β)) einpunktig.
2. Wegen der rationalen linearen Unabhängigkeit der λk sind diese einpunktigen Mengen
dann alle disjunkt.
3. Weil es nur endlich viele einpunktige Mengen sind, gibt es auch ε–Umgebungen dieser
Mengen mit einem festen ε > 0 für alle, die ebenfalls immer noch disjunkt sind.
4. Wir verändern nun die Werte von φj an den Intervallendpunkten so, daß wir “richtige”
Intervalle in diesen ε–Umgebungen erhalten, die immer noch disjunkt sind.
5. Den restlichen Aufwand betreibt man, um letztendlich Konsistenz zwischen den einzelnen
Stufen, strikte Monotonie und Lipschitz–Stetigkeit zu bekommen.
So, den “schlimmsten” Teil des Beweises haben wir schon hinter uns gebracht. Jetzt setzen wir
unsere Intervalle Ij (β) zu s–dimensionalen Würfeln 219
Ij
1 s
β , . . . , β 1
:= Ij β × · · · × Ij (β s ) ⊂ R s , ℓ β 1 = · · · = ℓ (β s ) ,
218 Nicht einschlafen, wir haben’s gleich! Das kommt einem alles nur so monoton vor.
219 Da wir alle Indizes β k von gleicher Länge wählen, sind das auch wirklich Würfel.