Approximationstheorie

8.3 Der Beweis 171
ε > 0, so daß die Umgebungen
Uj
β 1 , . . . , β k :=
s
k=1
λk φ j,β k +
s
k=1
λk
(−ε, ε) , j = 0, . . . , 2s, ℓ β k = n,
=:λ
(8.13)
allesamt disjunkt sind, und wir wählen nun die festzulegenden Werte von φj jeweils so, daß
φj,β − ε < φj (aj,β) < φj,β < φj (aj,β) < φj,β + ε, j = 0, . . . , 2s, ℓ(β) = n,
was für hinreichend kleines ε auch nach wie vor ohne Verletzung von 2) möglich ist. Damit sind
aber auch 1) und 3) erfüllt und für beliebige β 1 , . . . , β k mit ℓ (β j ) = n gilt außerdem
und ganz analog
s
k=1
λk φj
also insgesamt
s
φj,βk − λ ε <
k=1
λk
∈Uj(β 1 ,...,β k )
Mit anderen Worten,
s
k=1
aj,βk >
s
k=1
s
k=1
λk φj
λk φj
λk φj
s
k=1
aj,βk ,
λk
bj,βk <
aj,βk <
s
k=1
φj,β k − ε >
s
k=1
s
k=1
λk φj
λk
λk φj
s
k=1
λk
φj,βk + λ ε,
bj,βk <
φj,βk − λ ε (8.14)
s
k=1
λk
φj,β k
∈Uj(β 1 ,...,β k )
bj,βk
1 k
⊂ Uj β , . . . , β
+ λ ε . (8.15)
und da diese Intervalle alle disjunkt waren, gilt 4) bzw. (8.10).
Bleibt noch die Lipschitz–Stetigkeit und die ist natürlich der Grund, warum wir auf Eigenschaft
2) geachtet haben. Wir fixieren j ∈ {0, . . . , 2s} und betrachten alle zu φj konstruierten
Punkte, nämlich
Aj =
Aj,n,
n∈N0
die eine dichte Teilmenge von [0, 1] bilden, von der aus wir φj natürlich wie vorher wieder
passend fortsetzen können. Wählen wir nun x ∈ Aj und216 0 < h < 2/B so, daß auch x + h ∈
Aj, dann gibt es n > 0, so daß 2·B −n−1 ≤ h < 2·B −n ist217 und das offene Intervall (x, x + h)
kann damit höchstens einen Punkt aus Stufe n, also einen der Punkte aj,β, bj,β, ℓ(β) = n,
enthalten. Es gibt drei Möglichkeiten:
216Für Lipschitzsstetigkeit ist ja nur der Fall kleiner h relevant, alles anderes lässt sich immer in die Konstante
packen.
217Der größere der beiden Werte ist die Länge einer Lücke auf Stufe n.