170 8 DER SATZ VON KOLMOGOROFF a ... ... l l Abbildung 8.6: Die Punkte a, a ′ und die zugehörigen Intervalle auf Stufe n. Nachdem a = k B −n+1 und a ′ = k ′ B −n+1 ist, liegen zwischen den beiden endlich viele Stücke der Länge l = B −n+1 , die von den Intervallen auf Stufe n gleichmäßig überdeckt werden, so daß sich Intervalle und Lücken exakt gleich verteilen. Randpunkt des rechen Nachbarn dazu, dann ist φj (x ′ ) − φj(x) = < B 2 (a ′ − a) (x′ − x) (φj (a ′ ) − φj(a)) = B 2 (x′ − x) φj (a ′ ) − φj(a) (a ′ − a) n B , 2
8.3 Der Beweis 171 ε > 0, so daß die Umgebungen Uj β 1 , . . . , β k := s k=1 λk φ j,β k + s k=1 λk (−ε, ε) , j = 0, . . . , 2s, ℓ β k = n, =:λ (8.13) allesamt disjunkt sind, und wir wählen nun die festzulegenden Werte von φj jeweils so, daß φj,β − ε < φj (aj,β) < φj,β < φj (aj,β) < φj,β + ε, j = 0, . . . , 2s, ℓ(β) = n, was für hinreichend kleines ε auch nach wie vor ohne Verletzung von 2) möglich ist. Damit sind aber auch 1) und 3) erfüllt und für beliebige β 1 , . . . , β k mit ℓ (β j ) = n gilt außerdem und ganz analog s k=1 λk φj also insgesamt s φj,βk − λ ε < k=1 λk ∈Uj(β 1 ,...,β k ) Mit anderen Worten, s k=1 aj,βk > s k=1 s k=1 λk φj λk φj λk φj s k=1 aj,βk , λk bj,βk < aj,βk < s k=1 φj,β k − ε > s k=1 s k=1 λk φj λk λk φj s k=1 λk φj,βk + λ ε, bj,βk < φj,βk − λ ε (8.14) s k=1 λk φj,β k ∈Uj(β 1 ,...,β k ) bj,βk 1 k ⊂ Uj β , . . . , β + λ ε . (8.15) und da diese Intervalle alle disjunkt waren, gilt 4) bzw. (8.10). Bleibt noch die Lipschitz–Stetigkeit und die ist natürlich der Grund, warum wir auf Eigenschaft 2) geachtet haben. Wir fixieren j ∈ {0, . . . , 2s} und betrachten alle zu φj konstruierten Punkte, nämlich Aj = Aj,n, n∈N0 die eine dichte Teilmenge von [0, 1] bilden, von der aus wir φj natürlich wie vorher wieder passend fortsetzen können. Wählen wir nun x ∈ Aj und216 0 < h < 2/B so, daß auch x + h ∈ Aj, dann gibt es n > 0, so daß 2·B −n−1 ≤ h < 2·B −n ist217 und das offene Intervall (x, x + h) kann damit höchstens einen Punkt aus Stufe n, also einen der Punkte aj,β, bj,β, ℓ(β) = n, enthalten. Es gibt drei Möglichkeiten: 216Für Lipschitzsstetigkeit ist ja nur der Fall kleiner h relevant, alles anderes lässt sich immer in die Konstante packen. 217Der größere der beiden Werte ist die Länge einer Lücke auf Stufe n.
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10 8 6 4 2 0 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
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INHALTSVERZEICHNIS 1 Inhaltsverzeic
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And first, so that all may understa
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1.2 Ein historisches Beispiel: Summ
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1.2 Ein historisches Beispiel: Summ
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1.2 Ein historisches Beispiel: Summ
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1.2 Ein historisches Beispiel: Summ
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1.3 Fazit 13 und somit Fn(t) ≤ 1
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Sunt qui quicquid in libris scriptu
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2.1 Der Satz von Weierstraß 17 Mit
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2.2 Der Satz von Stone 19 Satz 2.7
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2.2 Der Satz von Stone 21 und werde
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2.3 Der Satz von Bishop 23 Satz 2.1
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2.4 Müntz-Sätze 25 und da f −
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2.4 Müntz-Sätze 27 “·” das k
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2.4 Müntz-Sätze 29 Übung 2.7 Zei
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2.4 Müntz-Sätze 31 schreiben kön
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2.4 Müntz-Sätze 33 und somit cn c
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2.4 Müntz-Sätze 35 2. limj→∞
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3.1 Approximation durch lineare Rä
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3.1 Approximation durch lineare Rä
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3.2 Das Kolmogoroff-Kriterium und e
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3.2 Das Kolmogoroff-Kriterium und e
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3.2 Das Kolmogoroff-Kriterium und e
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3.2 Das Kolmogoroff-Kriterium und e
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3.3 Haar-Räume und Alternanten 49
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3.3 Haar-Räume und Alternanten 51
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3.3 Haar-Räume und Alternanten 53
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3.3 Haar-Räume und Alternanten 55
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3.3 Haar-Räume und Alternanten 57
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3.4 Der Remez-Algorithmus 59 φ ∗
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3.4 Der Remez-Algorithmus 61 Dieses
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3.4 Der Remez-Algorithmus 63 Was al
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3.4 Der Remez-Algorithmus 65 muß y
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Bisweilen erweist sich das wahre Wi
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4.2 Simultanapproximation 69 was pe
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4.2 Simultanapproximation 71 also i
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4.3 Shape preservation 73 Satz 4.8
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4.4 Der Preis: Saturation 75 Übung
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4.4 Der Preis: Saturation 77 Satz 2
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4.4 Der Preis: Saturation 79 Lemma
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4.4 Der Preis: Saturation 81 zur Ko
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4.5 Multivariate Bernsteinpolynome
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4.5 Multivariate Bernsteinpolynome
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4.5 Multivariate Bernsteinpolynome
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4.5 Multivariate Bernsteinpolynome
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4.5 Multivariate Bernsteinpolynome
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5.1 Ein Satz von Bernstein 93 Bemer
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5.1 Ein Satz von Bernstein 95 Bewei
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5.3 Trigonometrische Polynome II: J
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5.3 Trigonometrische Polynome II: J
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5.4 Trigonometrische Polynome III:
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5.4 Trigonometrische Polynome III:
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5.5 Trigonometrische Polynome IV: D
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5.6 Trigonometrische Polynome V: Di
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5.7 Algebraische Polynome 109 1. Is
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5.7 Algebraische Polynome 111 Um nu
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5.7 Algebraische Polynome 113 Also
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6.1 Translationsinvariante Räume 1
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6.1 Translationsinvariante Räume 1
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- Seite 147 und 148: 7.2 Orthogonale Skalierungsfunktion
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