Approximationstheorie

8.3 Der Beweis 169
4. Die Intervalle J (β 1 , . . . , β s ) aus (8.10) sind alle disjunkt.
Nehmen wir also an, wir hätten die Werte der Funktionen an allen Stellen aj,β, bj,β, j = 0, . . . , 2s,
β ∈ Bn−1 passend bestimmt und sehen uns an, wie die Funktionen nun auf aj,β, bj,β, j =
0, . . . , 2s, ℓ(β) = n, fortzusetzen sind.
Zuerst setzen wir jedes φj individuell so fort, daß Eigenschaft 2) erfüllt ist. Auf Stufe n
haben wir es bei der Zerlegung mit Intervallen der Form
NB −n+1 , (N + 1)B −n+1 ⊃ [aj,β, bj,β] = Ij(β),
die zu einem Teil (B − 2)/B von Ij(β) ausgefüllt werden, wobei zwischen zwei derartigen
Intervallen Lücken der Länge 2/B auftreten. Daher kann so ein Intervall Ij(β) entweder einen
der früheren Punkte enthalten 211 , oder keinen 212 , siehe Abb. 8.5. Auf jedem Intervall der Stufe
Abbildung 8.5: Die Intervalle auf Stufe n und n + 1. Diejenigen Intervalle, die einen Randpunkt
der darüberliegenden Stufe enthalten, sind rot eingefärbt.
n legen wir nun die Werte an den Endpunkten als
φj (aj,β) = φj (bj,β) = φj,β
n
n+1
(8.11)
fest; das ist natürlich nicht streng monoton steigend, aber dieses Manko lässt später beheben.
Enthält das Intervall Ij(β) einen “übergeordeten” Endpunkt
a ∈ Aj,n−1 := {aj,β : β ∈ Bn−1} ∪ {bj,β : β ∈ Bn−1} ,
dann setzen wir 213 φj,β = φj(a) so daß unsere Definition von φj konsistent bleibt. Für die
anderen Intervalle betrachten wir zwei beliebige benachbarte Punkte a < a ′ ∈ Aj,n−1, für die,
nach Induktionsvoraussetzung, φj (a ′ )−φj(a) ≤ (B/2) n−1 (a ′ − a) gilt, und die auf dem Gitter
N0B −n+1 liegen 214 . Daher verteilen sich die Intervalle und Lücken auf Stufe n gleichmäßig
zwischen diesen Punkten, siehe Abb. 8.6, und die Lücken machen eine Gesamtlänge von 2(a′ −a)
B
aus. In jeder dieser Lücken erhöhen wir dann φj,β um einen Faktor, der proportional zu dieser
Länge ist. Ist nun x = bj,β der rechte Randpunkt eines Intervalls und x ′ = aj,β ′ der linke
211 Nämlich dann, wenn sich die Intervalle überlappen. Dieses Überlappen ist durch die Verschiebung bedingt.
212 Nämlich dann, wenn das Intervall in eines niedrigerer Stufe “eingepasst” ist.
213 Eine andere Wahl haben wir ja auch gar nicht.
214 Hier wirkt sich die Kopplung von B und s in (8.7) positiv aus.