Approximationstheorie

168 8 DER SATZ VON KOLMOGOROFF
Jetzt kommen wir zum entscheidenden Lemma, das uns ein bisschen beschäftigen wird. Aber
vorher noch ein klein wenig Notation. Wir fixieren immer noch210 gemäß (8.7) B = 4s + 2 und
betrachten die Intervalle
[aj,β, bj,β] = I(β) − 2j B −ℓ(β) , β ∈ B =
mit den rationalen Endpunkten aj,β, bj,β. Ausserdem setzen wir
Bn =
n
k=0
Z k−1
B , n ∈ N0.
∞
k=0
Z k−1
B , (8.9)
Lemma 8.8 Es gibt strikt monoton steigende Funktionen φj : [0, 1] → [0, 1], j = 0, . . . , 2s,
Lipschitz–stetig zu einem passenden α > 0, so daß für jede feste Stufe n die Intervalle
1 s
β , . . . , β
s
s
:=
aj,βk , bj,βk
,
Jj
disjunkt sind.
k=1
λk φj
k=1
λk φj
ℓ (β 1 ) = · · · = ℓ (β s ) = n,
j = 0, . . . , 2s + 1,
(8.10)
Beweis: Wir konstruieren die Funktionen φj simultan und induktiv nach n. Für n = 0 setzen
wir aj,() = 0, bj,() = 1, und definieren die Funktionen an diesen Endpunkten als
φj(0), φj(1) ∈ Q, 0 ≤ φj(0) < φj(1) ≤ 1, j = 0, . . . , 2s,
so, daß für verschiedene j all diese Werte verschieden sind.
Im nten Schritt legen wir dann
φj (aj,β) und φj (aj,β) , j = 0, . . . , 2s, ℓ(β) = n,
fest, was, nach unserer Bemerkung über die Disjunktheit dieser Randpunkte, konsistent durchführbar
ist. Darüberhinaus definieren wir die Erweiterung, so daß auch die folgenden Bedingungen
erfüllt sind:
1. Jedes φj ist strikt monoton steigend auf den Punkten aj,β, bj,β, ℓ(β) ≤ n.
2. Für jedes β mit ℓ(β) ≤ n und jedes j = 0, . . . , 2s hat die stückweise lineare Funktion f
mit
f (aj,β) = φj (aj,β) , f (bj,β) = φj (bj,β) ,
eine strikt kleinere Steigung als (B/2) ℓ(β) .
3. Alle Werte
sind verschieden.
φj (aj,β) , φj (aj,β) , j = 0, . . . , 2s, β ∈ Bn,
210 Das dürfte nicht wirklich notwendig sein, macht die Argumente aber einfacher