Approximationstheorie

Sunt qui quicquid in libris scriptum domi
habent, noscere sibi videantur; cumque
ulla de re mentio incidit, “hic liber”,
inquiunt, “in armario meo est” . . .
Manche halten sich für Kenner all
dessen, was in den Büchern ihrer
Hausbibliothek steht; wird irgendeine
Sache erwähnt, sagen sie: “Dieses Buch
steht in meinem Schrank” . . .
Petrarca, De librorum copia – Von der
Bücherfülle, 1366
Polynomapproximation –
Dichtheitsaussagen 2
In diesem Kapitel befassen wir uns mit Approximation durch algebraische Polynome auf einem
kompakten Intervall, genauer, mit Tschebyscheffapproximation, also die Approximation
von stetigen Funktionen bezüglich der Supremumsnorm.
2.1 Der Satz von Weierstraß
Jetzt also zu “dem” Satz der Approximationstheorie, dem Satz von Weierstraß für algebraische
Polynome. Dazu erst mal ein klein wenig Notation.
Definition 2.1 Mit Π = R[x] bezeichnen wir die Algebra der Polynome mit reellen Koeffizienten
und mit
k
Πn = span R x
: k = 0, . . . , n , n ∈ N0,
den Untervektorraum der Polynome vom Grad ≤ n.
Satz 2.2 (Satz von Weierstraß für algebraische Polynome) Sei I ⊂ R ein kompaktes Intervall.
Zu jeder Funktion f ∈ C(I) und jedem ε > 0 gibt es ein Polynom p ∈ Π, so daß
f − p < ε.
Zu diesem Satz gibt es jede Menge Beweise, mehr oder weniger lange und komplizierte, elementare
und nicht–elementare. Ein nettes Beispiel ist [44], wo der Satz von Weierstraß auf die
Approximation von Treppenfunktionen durch Polynome zurückgeführt wird, siehe Übung 2.5.
Hier allerdings gönnen wir uns den “Klassiker”, nämlich den ersten konstruktiven Beweis des
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