Approximationstheorie

8.3 Der Beweis 167
ist. Der Grund hierfür ist einfach: Für β ∈ Z k−1
B
der Form
k−1
βℓB −ℓ + (βk − 2j) B −k =
ℓ=1
k
ℓ=1
sind die Randpunkte des Intervalls Ij(β) von
B k−ℓ βℓ − 2j
B −k = NB −k
für ein N ∈ N und damit ist kein Randpunkt der Stufe k auch Randpunkt der Ordnung k ′ mit
k ′ > k, denn letztere verteilen sich ja auf einem feineren Gitter.
8.3 Der Beweis
So, jetzt wird es aber Zeit, sich an den Beweis von Satz 8.2 zu machen. Zuerst die Bestimmung
der λj, die noch recht einfach ist: Im Geiste unserer rational/irrationalen Unterscheidungen
sollen λ0, . . . , λ2s irrationale Zahlen sein, die über Q linear unabhängig sind, so daß es also
keine rationalen Zahlen q0, . . . , q2s gibt, die
2s
j=0
λj qj = 0
erfüllen. Sowas kann man ganz fein und abstrakt mit algebraischen Köpererweiterungen machen,
es geht aber auch einfacher.
Lemma 8.7 Für jedes n ∈ N gibt es irrationale Zahlen λ1, . . . , λn ∈ (0, 1), die über Q linear
unabhängig sind.
Beweis: Wir wählen n transzendente Zahlen µ1, . . . , µn ∈ (1, 2), deren Produkt ebenfalls
transzendent ist 209 und setzen λj = log 2 µj ∈ (0, 1), j = 1, . . . , n. Wären diese λj nun linear
abhängig über Q, dann gäbe es qj, j = 1, . . . , n, so daß
0 =
n
j=1
qj λj =
n
kj λj, kj ∈ Z,
wobei die kj durch einfache Hauptnennerbildung generiert werden. Also ist
1 = 2 P n
j=1 kj λj =
j=1
j=1
n log
2 2 µj kj = 2 k
im deutlichen Widerspruch zur Transzendenz des Produkts der der µj.
209 Das geht, weil die rationalen und algebraischen Zahlen beide abzählbar sind – jede algebraische Zahl ist eine
von endlich vielen Nullstellen eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten und die sind abzählbar, wie man sich
leicht überlegen kann: Man “sortiert” nach Grad und zählt dann die einzelnen Koeffizienten ab, was man mischt
wir beim Cantorschen Diagonalverfahren für die rationalen Zahlen.
n
j=1
µ kj
j ,