Approximationstheorie

166 8 DER SATZ VON KOLMOGOROFF
Wie schon gesagt – so viel ist Stetigkeit eben auch nicht.
Man kann für die Funktion φ übrigens auch recht einfach einen Auswertungsalgorithmus angeben,
indem man einfach die dyadische Entwicklung berücksichtigt. Bei geeigneter Wahl 206
von B hat ja jede auf dem Rechner darstellbare Zahl x eine endliche B–adische Entwicklung
.ξ1 . . . ξN, die sich mit der rekursiven Vorschrift
⎧
⎨
φ(x) =
⎩
1
2
1
2 , ξ1 ∈ {1, . . . , B − 2},
1
2φ (.ξ2 . . . ξN) , ξ1 = 0,
1 + 2φ (.ξ2 . . . ξN) , ξ1 = B − 1,
die sich durchaus praktisch implementieren lässt, siehe Abb 8.4.
Abbildung 8.4: Die Funktion φ zu den Basen B = 4 (links) und B = 8 (rechts). In beiden
Fällen kann man die fraktale Natur der Funktion gut erkennen.
Die Funktionen φj aus (8.2) konstruiert man fast genauso207 , allerdings mittels leicht verschobener
Intervalle. Für k ∈ N und β ∈ Z k−1
B definieren wir nämlich208
Ij(β) = I(β) − j
B − 2
2s B−k , j = 0, . . . , 2s, (8.6)
und konstruieren φj aus wie oben aus den Intervallen Ij(β)∩[0, 1]. Ausserdem fixieren wir jetzt
auch noch die Basis B, und zwar als
so daß
B = 4s + 2, (8.7)
Ij(β) = I(β) − 2jB −k , j = 0, . . . , 2s, (8.8)
206 Also beispielsweise nicht B = 10, wenn man es mit einem “normalen” Computer zu tun hat, der dual rechnet.
207 Warum sonst hätten wir uns mit dieser Konstruktion so lange aufhalten sollen?
208 Wir verschieben also die Intervalle geleichmäßig um das j/2s–fache der Intervalllänge (B − 2)/B k .