Approximationstheorie

8.2 Von Würfeln und Intervallen 165
Lemma 8.5 Die Funktion φ aus (8.5) ist stetig, monoton steigend und erfüllt fast überall φ ′ (x) =
0.
Beweis: Auf den Intervallen I(β), β ∈ {0, ρ} k−1 , k ∈ N, ist φ ebenso wie ψ konstant, also im
Inneren dieser Intervalle differenzierbar mit Ableitung 0. Da diese Intervalle zusammen aber
Maß 1 haben, gilt diese Eigenschaft damit überall.
Bleibt die Stetigkeit. Dazu betrachten wir die B–adische Entwicklung
x = .ξ1ξ2 . . .
eines Punktes x ∈ [0, 1]. Ist nun ξ1 ∈ {1, . . . , B − 2}, dann gehört x zu I(), in dessen Innerem
φ konstant, also insbesondere stetig ist. “Problematisch” sind nur die beiden Randpunkte
.10 . . . = .0ρ . . . und .(ρ − 1)ρ . . . = .ρ0 . . . .
Mittels der Invervalle I(0) und I(ρ) erhalten wir dann auch Stetigkeit an allen Punkten der
Form .0ξ2 . . . bzw. .ρξ2 . . ., ξ2 ∈ {1, . . . , B − 2} wieder bis auf die Randpunkte
sowie
.010 . . . = 0.00ρ . . . , und .0(ρ − 1)ρ . . . = .0ρ0 . . .
.ρ10 . . . = 0.ρ0ρ . . . , und .ρ(ρ − 1)ρ . . . = .ρρ0 . . . .
Setzen wir das weiter fort, so stellen wir fest, daß Stetigkeit nur an den Punkten der Form x =
.ξ1ξ2 . . . mit ξj ∈ {0, ρ} nachzuprüfen ist. Diese Punkte sind entweder linker Randpunkt eines
Intervalls, wenn ρ unendlich oft wiederholt wird oder rechter Randpunkt, wenn 0 unendlich oft
auftaucht 205 . Sehen wir uns mal die Definition von ψ(x) nach (8.4) für k ∈ N so einen linken
Randpunkt an:
x = .ξ1 . . . ξk−10ρ . . . ⇒ ψ(x) = .ɛ1 . . . ɛk−11, ɛj = ξj
, j = 1, . . . , k − 1.
ρ
Nun wird x aber durch die Intervalle I (ξ1, . . . , ξk−1, 0, ρ, . . . , ρ) angenähert, auf denen ψ und
damit dann auch φ den Wert .ξ1, . . . , ξk−1, 0, 1, . . . , 1 hat, was gegen ψ(x) = ɛ1 . . . ɛk−11 konvergiert.
Für die rechten Randpunkte argumentiert man entsprechend.
Bemerkung 8.6 Die Funktion φ, die wir hier kennengelernt haben, hat eine recht faszinierende
Eigenschaft: Alle Intervalle der Konstruktion werden auf dyadische Zahlen abgebildet. Die
Gesamtheit der Intervalle ist eine Menge vom Maß 1, die dyadischen Zahlen hingegen sind eine
Menge vom Maß 0. Und damit:
Die Funktion φ ist eine monoton steigend Bijektion von [0, 1] auf sich selbst, die
eine Menge vom Maß 0 auf eine Menge vom Maß 1 abbildet und umgekehrt.
205 In beiden Fällen bestehen die Zahlen genaugenommen aus einem endlichen Teil und ab einem bestimmten
Punkt kommen dann nur noch Nullen oder Einsen.