Approximationstheorie

164 8 DER SATZ VON KOLMOGOROFF
1} und β ∈ Z k−1
B
eine B–adische Zifferndarstellung. Dann ist, mit der Abkürzung204 ρ = B −1,
I(β) = [.β1 · · · βk−11, .β1 · · · βk−1ρ] , ℓ(β) := k − 1,
ein derartiges Intervall der Länge (B − 2) B −(ℓ(β)+1) . Mit Hilfe dieser Intervalle konstruieren
wir nun eine Funktion ψ wie folgt:
1. Wir setzen ψ(0) = 0 und ψ(1) = 1.
2. Auf dem Intervall der Stufe 1, also I() = I 1 0 setzen wir
ψ(x) = 1
, x ∈ I(0).
2
3. Vor und hinter dieses Intervall passen genau die beiden Intervalle I 2 0 = I(0) und I 2 B−1 =
I(ρ), auf denen wir ψ den Wert 1
4
bzw. 3
4 geben.
4. Die nun verbleibenden Lücken füllen wir dann mit
⎧
1
⎪⎨
, x ∈ I (0, 0) ,
8
3,
x ∈ I (0, ρ) ,
ψ(x) = 8
5
⎪⎩
, x ∈ I (ρ, 0) ,
8
, x ∈ I (ρ, ρ) ,
auf.
7
8
5. Jetzt ist es nicht mehr schwer die allgemeine Formel für k ∈ N zu raten, wir setzen
nämlich für k ∈ N und β ∈ {0, ρ} k−1
ψ(x) = 2 −k +
k−1
βj
j=1
ρ
=:ɛj∈{0,1}
2 −j = .ɛ1 . . . ɛk−11, x ∈ I(β). (8.4)
Damit ist ψ auf den disjunkten Intervallen I(β), β ∈ {0, ρ} k−1 , k ∈ N, definiert. Auf Stufe
k gibt es 2 k−1 dieser Intervalle der Länge (B − 2)B −k , das heißt, die Intervalle auf Stufe k
überdecken einen Bereich der Länge B−2
B
B − 2
B
∞
k=1
k−1 2
=
B
B − 2
2
B
B
k−1 und die Länge des Gesamtbereichs ist
∞
k=0
k 2
=
B
B − 2
B
1
= 1,
1 − 2/B
die Funktion ψ ist also fast überall definiert. Nun erweitern wir sie stetig zu der offensichtlich
monoton steigenden Funktion φ, indem wir
setzen.
φ(x) := max ψ(y), x ∈ [0, 1] (8.5)
0≤y≤x
204 Wie schon in [69] soll diese Abkürzung auf den Fall B = 10 anspielen, da der Buchstabe ρ der Ziffer 9 am
ähnlichsten sieht.