Approximationstheorie

8.2 Von Würfeln und Intervallen 163
.0 .1 1.
1.
.1
.00 .01 .10 .11 1.
Abbildung 8.3: Die Abbildung θ für s = 2 und B = 2. Da man in zwei übereinanderliegenden
Teilquadraten Punkte wählen kann, die beliebig dicht beisammen liegen, deren Bilder
aber in deutlich getrennten Intervallteilen landen, kann θ nicht stetig sein.
zuordnen. Damit wäre g = f ◦ θ −1 eine univariate Funktion, die f darstellt, nur leider ist θ
nicht stetig, siehe Abb. 8.3 und damit g entsprechend kompliziert. Wir müssen uns also etwas
besseres einfallen lassen.
Die Konstruktion der “magischen” Funktionen φj aus Satz 8.2 basiert auf der Konstruktion
eines leicht pathologischen Objekts, nämlich einer monoton steigenden Funktion, deren Ableitung
fast überall Null ist 202 . Und in der Tat ist die Konstruktion solch einer Funktion gar nicht
mal schwer. Zu einer Basis B ≥ 3 und k ∈ N definieren wir die Intervalle der Stufe k
I k j := j B 1−k + B −k [1, B − 1] , j = 0, . . . , B k−1 . (8.3)
Abgesehen von I k
B k, das wir aber der Vollständigkeit halber mitdefinieren wollen, sind das alles
Teilintervalle von [0, 1], die an den Abtastpunkten mit Schrittweite 1/B k−1 beginnen und die
Breite (B − 2)/B k < 1/B k−1 haben – damit sind alle Intervalle der Stufe k disjunkt und
überdecken [0, 1] nicht vollständig.
Beispiel 8.4 Für B = 10 haben wir auf den Stufen 1 bis 3 die folgenden Intervalle in [0, 1]
I 1 0 = [.1, .9]
I 2 0 = [.01, .09], . . . , I 2 9 = [.91, .99]
I 3 0 = [.001, .009], . . . , I 2 99 = [.991, .999]
Am einfachsten beschreibt man diese Intervalle über Ziffern! Sei 203 ZB := Z/BZ {0, . . . , B−
202 Dies Funktion kann natürlich nicht mehr stetig differenzierbar sein, außer sie wäre konstant
203 Wie immer sei hier auf den Unterschied hingewiesen: Eigentlich ist – ganz analog wie beim Torus – ZB,
sprich “Z modulo B”, nicht nur die Menge {0, . . . , B −1}, sondern diese Menge zusammen mit den Rechenregeln
modulo B, also einer wohldefinierten Addition und Multiplikation.