Approximationstheorie

162 8 DER SATZ VON KOLMOGOROFF
Satz 8.2 (Satz von Kolmogoroff) Es gibt Konstanten λk ∈ (0, 1], k = 1, . . . , s, und Funktionen
φj, j = 0, . . . , 2s, mit den folgenden Eigenschaften:
1. Die Funktionen φj sind Lipschitz–stetig für einen passenden Exponenten α > 0 und strikt
monoton steigend.
2. Zu jedem f ∈ C ([0, 1] s ) gibt es ein g ∈ C ([0, s]), so daß
2s
f (x1, . . . , xs) = g (λ1φj (x1) + · · · + λsφj (xs)) . (8.2)
j=0
Bemerkung 8.3 Bevor wir uns an den Beweis dieser Aussage machen, sehen wir uns nochmal
genau an, was wirklich wovon abhängt.
1. Sowohl die Funktionen φ0, . . . , φ2s wie auch die Werte λ0, . . . , λ2s sind universell, hängen
also nicht von der darzustellenden Funktion f ab, sondern nur von der Dimensionalität
des Problems. Sie lassen sich unabhängig vom Kolmogoroffschen Satz auch als Lösung
gewisser Einbettungsprobleme geometrisch interpretieren, siehe [47, S. 169].
2. Das Einzige, was wirklich von f abhängt, ist die Funktion g. Wir werden sehen, daß hier
auch ein bisschen die Crux des Darstellungssatzes 8.2 liegt, denn g wird Grenzwert einer
Folge von Approximationsfunktionen sein.
3. “Praktisch” kann man also auch den Satz von Kolmogoroff weniger als exakte Darstellung
realisieren, sondern eben auch nur als Approximation der multivariaten Funktion
f durch Superposition.
8.2 Von Würfeln und Intervallen
Dimension ist eine interessante Sache. Einerseits ist der Würfel [0, 1] s ja ein s–dimensionales
Objekt, andererseits lässt er sich aber sehr einfach bijektiv auf das Intervall [0, 1] abbilden. Dazu
betrachten wir zu x ∈ [0, 1] und B ∈ N, B > 1, die B–adische Entwicklung
x = .ξ1ξ2 . . . =
∞
j=1
ξj B −j , ξj ∈ {0, . . . , B − 1}.
Mit deren Hilfe können wir nun jedem x = (x1, . . . , xs) ∈ [0, 1] s mit dyadischen Entwicklungen
xj = .ξj,1ξj,2 . . . , j = 1, . . . , s,
den Punkt
[0, 1] ∋ x ∗ = θ(x) = .ξ1,1 . . . ξs,1ξ1,2 . . . ξs,2 . . . =
∞
B −s(j−1)
j=1
s
k=1
ξj,kB −k