Approximationstheorie

8.1 Nomographie, Hilberts 13. Problem und Kolmogoroffs Lösung 161
hausentransformationen, die ihrerseits nur Ausziehen von Wurzeln verlangen, in
eine Form gebracht werden, deren Coefficienten nur von zwei Parametern abhngig
sind.
Wahrscheinlich ist nun die Wurzel der Gleichung 7ten Grades eine solche Function
ihrer Coefficienten, die nicht zu der genannten Klasse nomographisch construirbarer
Functionen gehrt, d. h. die sich nicht durch eine endliche Anzahl von Einschachtelungen
von Functionen zweier Argumente erzeugen lt. Um dieses einzusehen, wre
der Nachweis dafr nötig, daß die Gleichung 7ten Grades
f 7 + x f 3 + y f 2 + z f + 1 = 0
nicht, mit Hülfe beliebiger stetiger Functionen von nur zwei Argumenten lösbar ist.
Daß es überhaupt analytische Functionen von drei Argumenten x, y, z giebt, die
nicht durch endlich-malige Verkettung von Functionen von nur zwei Argumenten
erhalten werden können, davon habe ich mich, wie ich noch bemerken möchte,
durch eine strenge Ueberlegung überzeugt.
Es mag ein wenig seltsam erscheinen, daß Hilbert hier ein Problem angibt, das in zwei Variablen
zu lösen zu sein scheint, in drei Variablen hingegen unlösbar sein soll. Sowas ist aber bei
multivariaten Polynomen gar nicht einmal so außergewöhnlich, es gibt da viele Situationen, wo
sich der trivariate Fall noch mal signifikant vom bivariaten unterscheidet, sei es geometrisch
oder algebraisch. Dennoch – hier hatte Hilbert unrecht, denn Kolmogoroff zeigte 1957 in 200
[38], bzw. sein Schüler Arnol’d in [4], daß sich jede stetige Funktion als Überlagerung univariater
Funktionen unter ausschließlicher Verwendung der Addition (und Konkatenation natürlich)
darstellen läßt.
Satz 8.1 (Satz von Kolmogoroff – Originalversion) Es gibt s(2s + 1) stetige Funktionen φjk,
j = 0, . . . , 2s, k = 1, . . . , s, dergestalt, daß man zu jeder stetigen Funktion f ∈ C ([0, 1] s )
stetige Funktionen g0, . . . , g2s finden kann, für die
2s
s
f (x1, . . . , xs) =
φjk (xk)
(8.1)
gilt.
j=0
Dieses Resultat wurde dann im Laufe der Zeit noch verfeinert, im wesentlichen von Lorentz 201
[46] und David Sprecher [77, 76, 78]. In der Tat stellte sich heraus, daß man bereits mit einer
Funktion g auskommt, die von f abhängt und daß man die die Funktionen φjk, k = 1, . . . , s
als passende Vielfache von Funktionen φj, j = 0, . . . , 2s, wählen kann. Außerdem lassen sich
diese Funktion sogar “kontrolliert” stetig, genauer gesagt Lipschitz–stetig konstruieren. Die
“endgültige” Version des Satzes von Kolmogoroff, wie sie auch in [47] zu finden ist, sieht dann
folgendermaßen aus.
200 Diese Publikationsform verdient eine eigene Fußnote! Die guten alten Doklady der UDSSR waren ein mathematisches
Veröffentlichungsmedium, in denen Resultate angekündigt wurden, zumeist ohne Beweis, der dann
später in einer langen Veröffentlichung anderswo “nachgereicht” wurde – oder eben auch nicht.
201 Den wir ja auch schon kennen
gj
k=1