Approximationstheorie

158 8 DER SATZ VON KOLMOGOROFF
Dicet quis: “enuclea!
quid est hoc, quod ais?”
Wirft einer ein: “Erläutere das! Was
meinst Du damit?”
Carmina Burana, 226, Über den Zustand
der Welt
Der Satz von Kolmogoroff 8
Wir wollen uns nochmal einem eher “theoretischen” Thema zuwenden, nämlich der Frage,
ob es überhaupt wirklich multivariate Funktionen gibt. Die erste, eher verblüffte Antwort ist:
“Natürlich”, denn bereits f(x, y) = x + y ist natürlich eine Funktion in zwei Variablen. Aber
eigentlich auch wieder nicht wirklich, denn schließlich ist f ja “nur” Summe von zwei einfachen
Funktionen in einer Variablen und Addieren ist ja nun nicht gerade die hohe Schule. Die
kompliziertere Funktion
log x+log y
f(x, y) = xy = e
ist auch “nur” eine Summe, die allerdings noch durch eine univariate Funktion geschickt werden
muss, um die gewünschte Funktion zu ergeben. Gibt es also “richtige” Funktionen in mehreren
Variablen oder ist alles auf so eine Art darstellbar? Die Antwort ist, überraschenderweise,
letzteres. Na gut, aus Sicht der stetigen Funktionen gibt es sowieso keine Dimension.
8.1 Nomographie, Hilberts 13. Problem und Kolmogoroffs Lösung
Beginnen wir mit etwas ganz anderem, nämlich mit der Nomographie, also der zeichnerischen
bzw. grafischen Lösung mathematischer Probleme. Die einfachste Anwendung der Nomographie
ist logarithmisches Papier, also Papier, das in einer Richtung linear, in einer logarithmisch
liniert ist und mit dem man exponentielle Gesetzmäßigkeiten darstellen kann, siehe Abb. 8.1.
Um diese Gerade zu bestimmen, braucht man nur zwei Werte y (x1) und y (x2) zu kennen und
kann dann für jedes x den zugehörigen y–Wert auf der logarithmischen Skalenachse ablesen.
Diese grafische “Lösungsmethode” hat, vor allem in der Prätaschenrechnerperiode, zwei große
Vorteile:
• Man muss nicht rechnen können, zumal die Berechnung komplexer Funktionen wie dem
Logarithmus ohnehin Tabellenwerke plus Interpolation fordern würde, siehe [1].
• Das Ergebnis hat automatisch die richtige relative Genauigkeit, die man braucht, es geht
also wieder mal um gültige Stellen, ganz genau so, wie man es aus der “normalen” Numerik
kennt [31, 69].