Approximationstheorie

14 1 WAS IST APPROXIMATIONSTHEORIE
• der Raum C(X) der stetigen oder Cu(X), der Raum der gleichmäßig stetigen Funktionen
12 , die gleichmäßig beschränkt sind 13 mit der Norm
f∞ = sup |f(x)| .
x∈X
Typische (univariate) Beispiele für X und die zugehörigen Approximationsräume sind
• X = T, dann verwendet man zumeist trigonometrische Polynome eines bestimmten Grades.
• X = I, wobei I ⊂ R ein kompaktes Intervall ist, dann verwendet man zumeist algebraische
Polynome.
• X = R, dann muß man sich Exponentialfunktionen der Form fλ(x) = e −λx zuwenden.
Etwas überspitzt kann man sagen, daß es eigentlich nur drei “relevante” Werte von p für die
Lp–Räume gibt, nämlich
p = 1: Hier spricht man von L1–Approximation, die benötigten Methoden sind zumeist der
Optimierung entliehen.
p = 2: Bei der L2–Approximation hat man es mit der “wohlbekannten” Hilbertraumtheorie zu
tun (die Norm wird durch ein inneres Produkt gegeben) und man kann mit Orthogonalreihen
arbeiten. Beispielsweise ist die Bestapproximation zu f ∈ L2(T) mit trigonometrischen
Polynomen vom Grad ≤ n immer die Partialsumme σn(f).
p = ∞: Die Tschebyscheff 14 –Approximation, mit der wir uns zuerst einmal befassen wollen, ist
vielleicht das “eigenständigste” Produkt der Approximationstheorie. Wir werden sehen
daß hier, nicht ohne Grund, die beiden Fälle X = T und X = I eine wesentliche Rolle
spielen.
Übung 1.5 Beweisen oder widerlegen Sie die folgenden Aussagen:
1. Die trigonometrischen Polynome sind dicht in L∞(T).
2. Die trigonometrischen Polynome sind dicht in C(I), I ⊆ (−π, π) kompaktes Intervall.
Wie sieht es mit I = [−π, π] aus?
3. Die algebraischen Polynome sind dicht in Cu(R).
12Achtung! Dies ist etwas anderes als der Raum L∞(X) aller wesentlich beschränkten Funktionen, der etwas
pathologische Eigenschaften hat.
13Dies wird im Falle X = R wichtig.
14Pafutny Tschebyscheff (oder Chebyshev oder Chebycheff oder Chebychov oder . . ., je nach Transkription),
1821–1894, reiner (Primzahlsätze) und angewandter (Mechanik) Mathematiker in St. Petersburg.
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