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156 7 WAVELETS 1. In (7.24) findet sich nur eine Approximationsordnung von 2 −kn während wir für die Approximationsordnung des Raums Vk in Satz 7.20 ja die Ordnung 2 −k(n+1) bekommen haben. Es ist aber nichts faul mit den Wavelets, wie man auch aus dem Beweis von Satz 7.24 ersehen kann, sondern es ist lediglich eine Normierungsfrage: Die skalierten Wavelets ψ 2 k · −ℓ erfüllen schließlich “nur” weswegen sie eigentlich zu ψ 2 k · −ℓ , ψ 2 k · −ℓ ′ = 2 −k δℓ,ℓ ′, ℓ, ℓ′ ∈ Z, ψk,ℓ := 2 k/2 ψ 2 k · −ℓ , k, ℓ ∈ Z, umskaliert werden müssten, um eine Orthnormalbasis zu bilden. Verwendet man diese Funktionen, so ergibt sich dann auch die “erwartete” Approximationsordung 2 −k(n+1) . 2. Es gibt Wavelets mit kompaktem Träger, nämlich die bereits erwähnten Daubechies– Wavelets, die sogar verhältnismäßig einfach zu konstruieren sind 195 , ihre Verfeinerungskoeffizienten, um genau zu sein, denn man kennt weder geschlossene Formeln für diese Funktionen, noch für ihre Fouriertransformierte! Das macht aber auch nichts, denn diese Koeffizienten reichen für das praktische Arbeiten mit Wavelets vollkommen aus. Außerdem sind die Verfeinerungskoeffizienten zu Daubechies–Wavelets kleiner Ordnung sogar in [16, 54] aufgelistet. 3. Wir können den kompakten Träger der Wavelets sogar als Stärke sehen: Hat ψ den Träger [a, b], so hat ψ 2k · −ℓ den Träger 2−k (ℓ + [a, b]) und berücksichtigt so nur das lokale Glattheitsverhalten der Funktion f um den Punkt 2−kℓ. Hat also beispielsweise eine Funktion einen “Knick” an einer Stelle x∗ und ist ansonsten glatt, dann werden die Wa- k veletkoeffizienten dk 2 x deutlich langsamer abfallen. Das kann man beispielsweise zur automatischen Erkennung von Singularitäten nutzen, siehe Abb. 7.6. 4. Aber auch bei der Kompression hilft das: Ist nämlich die Funktion f “weitestgehend” glatt, dann werden die meisten Wavelet–Koeffizienten ziemlich schnell ziemlich klein werden und wir können sie einfach vergessen und nur die betragsmäßig größten Koffizienten oder alle, deren Absolutbetrag oberhalb eines bestimmten Wertes liegt 196 behalten. Der Vorteil solcher Kompressionsverfahren liegt darin, daß die Rekonstruktion oftmals kaum sichtbare Unterschiede zum Original aufweist. 5. Was aber tun mit Skalierungsfunktionen wie Splines, bei denen wir entweder nur ein Prewavelet mit kompaktem Träger oder aber ein Wavelet mit unendlichem Träger bekommen? Nun, abgesehen davon, daß man wegen des Abfalls von Funktion und Koeffizienten numerisch einfach “abschneiden” könnte, gibt es auch noch biorthogonale Wavelets, siehe z.B. [54] oder [49]. 195 Aber trotzdem gehört dieser Punkt in eine Spezialvorlesung über Wavelets. 196 Dieses Verfahren bezeichnet man als “Threshholding”.
7.4 Approximation mit Wavelets 157 0 50 100 150 200 250 300 -50 0 50 100 150 200 250 300 350 Abbildung 7.6: Die Funktion auf der linken Seite hat offensichtlich zwei Knicke, ansonsten ist sie linear. Auf der rechten Seite sind die Wavelet–Koeffizienten der “ersten drei” Ordnungen geplottet (mit nach unten zunehmender Auflösung), die bereits mit einem Faktor 2 k nachskaliert wurden. Sie weisen schon ziemlich deutlich auf die drei kritischen Stellen hin. Ach ja: Verwendet wurde hierbei das Daubechies–Wavelet D3. Bleibt noch die Frage: Wie rechnet man eigentlich mit Wavelets, wie implementiert man sie numerisch am Computer. Das Stichwort hier heisst Filterbänke und Informationen zu diesem Thema finden sich beispielsweise in [16, 54, 81, 83], aber wegen der ansonsten zu großen Überlappung mit [71] wollen wie hier nicht weiter darauf eingehen – das ist zwar schade, aber was will man machen?
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10 8 6 4 2 0 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
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INHALTSVERZEICHNIS 1 Inhaltsverzeic
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And first, so that all may understa
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1.2 Ein historisches Beispiel: Summ
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1.3 Fazit 13 und somit Fn(t) ≤ 1
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Sunt qui quicquid in libris scriptu
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2.1 Der Satz von Weierstraß 17 Mit
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2.2 Der Satz von Stone 19 Satz 2.7
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2.2 Der Satz von Stone 21 und werde
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2.3 Der Satz von Bishop 23 Satz 2.1
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2.4 Müntz-Sätze 25 und da f −
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2.4 Müntz-Sätze 27 “·” das k
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2.4 Müntz-Sätze 29 Übung 2.7 Zei
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2.4 Müntz-Sätze 31 schreiben kön
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2.4 Müntz-Sätze 33 und somit cn c
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2.4 Müntz-Sätze 35 2. limj→∞
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3.1 Approximation durch lineare Rä
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3.1 Approximation durch lineare Rä
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3.2 Das Kolmogoroff-Kriterium und e
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3.3 Haar-Räume und Alternanten 49
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3.4 Der Remez-Algorithmus 59 φ ∗
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3.4 Der Remez-Algorithmus 61 Dieses
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3.4 Der Remez-Algorithmus 63 Was al
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3.4 Der Remez-Algorithmus 65 muß y
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Bisweilen erweist sich das wahre Wi
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4.2 Simultanapproximation 69 was pe
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4.2 Simultanapproximation 71 also i
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4.3 Shape preservation 73 Satz 4.8
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4.4 Der Preis: Saturation 75 Übung
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4.4 Der Preis: Saturation 77 Satz 2
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4.4 Der Preis: Saturation 79 Lemma
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4.4 Der Preis: Saturation 81 zur Ko
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4.5 Multivariate Bernsteinpolynome
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5.1 Ein Satz von Bernstein 93 Bemer
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5.1 Ein Satz von Bernstein 95 Bewei
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5.3 Trigonometrische Polynome II: J
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5.3 Trigonometrische Polynome II: J
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5.4 Trigonometrische Polynome III:
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5.4 Trigonometrische Polynome III:
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