Approximationstheorie

156 7 WAVELETS
1. In (7.24) findet sich nur eine Approximationsordnung von 2 −kn während wir für die Approximationsordnung
des Raums Vk in Satz 7.20 ja die Ordnung 2 −k(n+1) bekommen haben.
Es ist aber nichts faul mit den Wavelets, wie man auch aus dem Beweis von Satz 7.24
ersehen kann, sondern es ist lediglich eine Normierungsfrage: Die skalierten Wavelets
ψ 2 k · −ℓ erfüllen schließlich “nur”
weswegen sie eigentlich zu
ψ 2 k · −ℓ , ψ 2 k · −ℓ ′ = 2 −k δℓ,ℓ ′, ℓ, ℓ′ ∈ Z,
ψk,ℓ := 2 k/2 ψ 2 k · −ℓ , k, ℓ ∈ Z,
umskaliert werden müssten, um eine Orthnormalbasis zu bilden. Verwendet man diese
Funktionen, so ergibt sich dann auch die “erwartete” Approximationsordung 2 −k(n+1) .
2. Es gibt Wavelets mit kompaktem Träger, nämlich die bereits erwähnten Daubechies–
Wavelets, die sogar verhältnismäßig einfach zu konstruieren sind 195 , ihre Verfeinerungskoeffizienten,
um genau zu sein, denn man kennt weder geschlossene Formeln für diese
Funktionen, noch für ihre Fouriertransformierte! Das macht aber auch nichts, denn diese
Koeffizienten reichen für das praktische Arbeiten mit Wavelets vollkommen aus. Außerdem
sind die Verfeinerungskoeffizienten zu Daubechies–Wavelets kleiner Ordnung sogar
in [16, 54] aufgelistet.
3. Wir können den kompakten Träger der Wavelets sogar als Stärke sehen: Hat ψ den Träger
[a, b], so hat ψ 2k · −ℓ den Träger 2−k (ℓ + [a, b]) und berücksichtigt so nur das lokale
Glattheitsverhalten der Funktion f um den Punkt 2−kℓ. Hat also beispielsweise eine
Funktion einen “Knick” an einer Stelle x∗ und ist ansonsten glatt, dann werden die Wa-
k veletkoeffizienten dk 2 x deutlich langsamer abfallen. Das kann man beispielsweise
zur automatischen Erkennung von Singularitäten nutzen, siehe Abb. 7.6.
4. Aber auch bei der Kompression hilft das: Ist nämlich die Funktion f “weitestgehend”
glatt, dann werden die meisten Wavelet–Koeffizienten ziemlich schnell ziemlich klein werden
und wir können sie einfach vergessen und nur die betragsmäßig größten Koffizienten
oder alle, deren Absolutbetrag oberhalb eines bestimmten Wertes liegt 196 behalten. Der
Vorteil solcher Kompressionsverfahren liegt darin, daß die Rekonstruktion oftmals kaum
sichtbare Unterschiede zum Original aufweist.
5. Was aber tun mit Skalierungsfunktionen wie Splines, bei denen wir entweder nur ein
Prewavelet mit kompaktem Träger oder aber ein Wavelet mit unendlichem Träger bekommen?
Nun, abgesehen davon, daß man wegen des Abfalls von Funktion und Koeffizienten
numerisch einfach “abschneiden” könnte, gibt es auch noch biorthogonale Wavelets, siehe
z.B. [54] oder [49].
195 Aber trotzdem gehört dieser Punkt in eine Spezialvorlesung über Wavelets.
196 Dieses Verfahren bezeichnet man als “Threshholding”.