Approximationstheorie

7.4 Approximation mit Wavelets 155
was wir durch Induktion über j nachweisen werden. Da ψ nach Proposition 7.23 n + 1 verschwindende
Momente hat, folgt (7.25) für j = 0 aus
0 = t n ψ(t) dt;
R
der kompakte Träger von ψ war außerdem sogar ein Stück der Annahme. Für den Induktionsschritt
j → j + 1, j + 1 ≤ n, nehmen wir an, daß Ψj(x) = 0 für x ∈ [a, b] und dann ist
x
0, x ≤ a,
Ψj+1(x) = Ψj(t) =
Ψj+1(b), x ≥ b,
und da
−∞
lim
x→∞ Ψj+1(x)
= Ψj(t) dt =
R
1 Ψj(t) dt = 0
R
nach (7.25), ist auch Ψj+1(x) = 0 für x ∈ [a, b]. Für k = 0, . . . , n−j −1 ist dann, mit partieller
Integration,
R
t k Ψj+1(t) dt = 1
k + 1
t k+1 Ψj+1(t) ∞ t=−∞ −
t
R
k+1
Ψj(t) dt
und der erste Term verschwindet, da Ψj+1 kompakten Träger hat, der zweite hingegen nach
Induktionsannahme. Damit ist (7.25) bewiesen.
Nun verwenden wir wieder partielle Integration, um
k
f, ψ 2 · −ℓ = f(t) ψ 2 k t − ℓ dt
also ist
|dk(ℓ)| ≤ Ψn+1 ∞ 2 −k(n+1)
R
= 2 −k
k ∞
f(t) Ψ1 2 t − ℓ −2 t=−∞
=0
−k
.
= (−1) n+1 2 −k(n+1)
χ[a,b]
R
|b − a| 2
=:C
−kn (n+1)
f . 2
= Ψn+1 ∞
R
R
f ′ k
(t) Ψ1 2 t − ℓ dt
f (n+1) k
(t) Ψn+1 2 t − ℓ dt,
k
2 t − ℓ f (n+1)
(t) dt ≤ Ψn+1∞ 2 −k(n+1)
χ[a,b]
2
= √
(n+1)
f
b−a
2
Bemerkung 7.25 Die Forderung in Satz 7.24, daß das Wavelet kompakten Träger haben soll,
ist natürlich eine Voraussetzung, die erst einmal erfüllt sein will. Trotzdem kann man einiges
dazu sagen.