Approximationstheorie

154 7 WAVELETS
Definition 7.22 Zu f ∈ L2(R) bezeichne 193
µ(f) =
µ(f)(k) = t
R
k
f(t) dt : k ∈ N0
∈ ℓ (N0)
die Momentenfolge zu f. Wir sagen eine Funktion f habe n + 1 verschwindende Momente,
wenn
µ(f)(0) = · · · = µ(f)(n) = 0.
Proposition 7.23 Erfüllt die orthonormale Skalierungsfunktion ϕ ∈ C00(R) die Strang–Fix–
Bedingungen der Ordnung n, dann hat das Wavelet ψ mindestens n + 1 verschwindende Momente.
Beweis: Seien wieder pj so, daß xj = ϕ ∗ pj(x), dann ist
j
(·) , ψ =
t
R
j
ψ(t) dt = ϕ ∗ pj(t) ψ(t) dt =
R
pj(k) ϕ(t − j) ψ(t) dt
k∈Z
R
Hierbei ist die Vertauschung von Summe und Integral problemlos, da sowohl ϕ als auch ψ
kompakten Träger haben.
Zumindest für Wavelets mit kompaktem Träger können wir dann eine recht schöne Aussage
machen.
Satz 7.24 Sei ψ ∈ C00(R) das Wavelet zu einer Skalierungsfunktion ϕ ∈ C00(R), die die
Strang–Fix–Bedingungen der Ordnung n erfüllt und sei f ∈ L n+1
2 (R). Dann gibt es eine Konstante
C > 0, so daß
|dk(ℓ)| = 2 k f, ψ 2 k · −ℓ ≤ C2 −k(n+1) f (n+1) 2
Beweis: Wir bezeichnen mit Ψj, j = 0, . . . , n, die j–te Stammfunktion zu ψ, definiert durch
Ψ0 := ψ Ψj+1(x) :=
x
−∞
Wir zeigen zuerst, daß Ψj kompakten Träger hat und daß 194
R
=0
Ψj(t) dt, x ∈ R, j = 0, . . . , n.
= 0.
(7.24)
t k Ψj(t) dt = 0, k = 0, . . . , n − j, j = 0, . . . , n, (7.25)
193 Eigentlich sollten wir zuerst einmal voraussetzen, daß f tatsächlich so “gebaut” ist, daß diese Folge tatsächlich
existiert! Kompakter Träger von f wäre beispielsweise eine schöne Eigenschaft. Wir wollen aber hier etwas
großzügig mit den Voraussetzungen sein, sollten uns aber darüber im Klaren sein, daß “eigentlich” Vorsicht geboten
ist!
194 Für j = n + 1 ist dies trivialerweise erfüllt!