Approximationstheorie

7.4 Approximation mit Wavelets 153
1.2
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Abbildung 7.5: Skalierungsfunktion und Wavelet zu D4.
line 1
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
-3 -2 -1 0 1 2 3 4
2. Da ϕ kompakten Träger hat, liese sich die Aussage auch “lokalisieren” und erhält so
auch Aussagen für Funktionen, die beispielsweise nur stückweise differenzierbar sind.
3. In Falle einer Skalierungsfunktion, die ja per Definitionem stabil ist, werden die Strang–
Fix–Bedingungen an ϕ zu dem einfacheren
ϕ (j) (2kπ) = 0, j = 0, . . . , n, k ∈ Z \ {0},
denn unter der Annahme der Stabilität ist dann
A ≤
|ϕ (0 + 2kπ)| 2 = |ϕ(0)| 2 +
k∈Z
k∈Z\{0}
|ϕ (2kπ)
=0
| 2 = |ϕ(0)| 2 .
Aber das ist nur die halbe Wahrheit. Viel besser ist die Tatsache, daß man die Regularität der
Funktion, also ihre Differenzierbarkeit, auch von der Abfallrate der Waveletkoeffizienten ablesen
kann. Dazu bemerken wir zuerst einmal, daß sich jede Funktion f ∈ L2(R) für beliebiges
j ∈ Z als
f = ϕ ∗ c 2 j · ∞ k
+ ψ ∗ dk 2 ·
mit
c(ℓ) = 2 j f, ϕ 2 j · −ℓ , dk(ℓ) = 2 k f, ψ 2 k · −ℓ , ℓ ∈ Z, k ≥ j,
für eine orthonormale Skalierungsfunktion 192 schreiben läßt, wobei man den Vektor dk ∈ ℓ2(Z)
als Vektor der Waveletkoeffizienten der Ordnung k bezeichnet. Um eine “Auswirkung” der
Strang–Fix–Bedingung auf die Wavelets zu sehen, erst noch ein bißchen Notation.
192 Die zweite Identität, die für die Waveletkoeffizienten, gilt aber immer, denn ein Wavelet ist ja als orthonorma-
ler Erzeuger von W0 definiert.
k=j
line 1