Approximationstheorie

7.4 Approximation mit Wavelets 151
= 1
1
− |a (2k + ɛ)|
2 4
k∈Z
2 +
k∈Z
= 1 1
−
2 4 a2
1 1
1 1
2 = − ϕ ∗ a2 2 = −
2 4 2 4
also hɛ = 0, das heißt, fɛ = gɛ
|a (2k + 1 − ɛ)| 2
σ1/2ϕ 2
2
=2
= 1 1
−
2 4
= 0,
|a(k)| 2
Beispiel 7.18 Das einfachste Wavelet ist sicherlich das “Haar–Wavelet” zur (trivialerweise orthogonalen)
Skalierungsfunktion ϕ = χ. Da hier der Koeffizientenvektor der Verfeinerungsgleichung
nur 191 a(0) = a(1) = 1. Dann ist also a ⊥ (−1) = 1 und a ⊥ (1) = −1 und wir erhalten
das Wavelet χ(2·) − χ(2 · −1), eine einfache “Rechteckswelle”, siehe Abb 7.3.
Abbildung 7.3: Die charakteristische Funktion alias “Rechteckspuls” und ihr Wavelet,
das “Haar–Wavelet”. Der einfachste und Modellfall von Skalierungsfunktion und Wavelet,
manchmal allerdings etwas zu einfach.
7.4 Approximation mit Wavelets
Um Aussagen über die Approximationsgüte unsrer Skalenräume machen zu können, werden
wir natürlich auf die Theorie der translationsinvarianten Räume zurückgreifen, insbesondere
auf Satz 6.29. Um den aber anwenden zu können, müssen wir natürlich annehmen, daß die
Skalierungsfunktion, die ja den translationsinvarianten Raum aufspannt, zu C00(R) gehört, also
stetig ist und kompakten Träger hat.
Bemerkung 7.19 Es ist klar, daß es stetige Funktionen gibt, die Skalierungsfunktionen mit
kompaktem Träger sind, nämlich die B–Splines der Ordnung 1 und höher, aber die sind nicht
191 Wenn wir Koeffizienten so eines Vektors nicht erwähnen, so sei dies gleichbedeutend damit, daß diese Koef-
fizienten den Wert 0 haben.
k∈Z