Approximationstheorie

150 7 WAVELETS
folgende Lemma 7.17, das zeigt, daß man jede der Funktionen ϕ(2 · −j), j ∈ Z, die ja V1
aufspannen, mittels S2(ϕ) ⊕ S2(ψ) darstellen kann. Das heißt dann, daß
V1 ⊆ S2(ϕ) ⊕ S2 (ψ) ⊆ V1 =⇒ S2(ψ) = V1 ⊖ S2(ϕ) = V1 ⊖ V0 = W0,
=V0
was den Beweis von Satz 7.12 komplettiert.
Die explizite Darstellung dieser Koeffizienten in (7.17) mag unnötig kompliziert und geschäftig
wirken, aber wird noch ein wichtiges Hilfsmittel für den algorithmischen Umgang mit Wavelets
sein.
Lemma 7.17 Ist ϕ orthonormal, dann ist für ɛ ∈ {0, 1}
ϕ (2 · −ε) = 1
2 (ϕ ∗ σ−2 τɛa + (−1) ɛ ψ ∗ σ2 τ1−ɛa) . (7.22)
Beweis: Wir bezeichnen mit gɛ die orthogonale Projektion von fɛ := ϕ (2 · −ε) auf S2(ϕ) ⊕
S2(ψ). Da die Translate von ϕ und ψ nach Lemma 7.16 eine Orthonormalbasis dieses Raums
bilden, ist, für ɛ ∈ {0, 1},
gɛ =
〈fɛ, ϕ (· − k)〉 ϕ (· − k) +
〈fɛ, ψ (· − k)〉 ψ (· − k)
k∈Z
k∈Z
=
〈fɛ, (ϕ ∗ a) (2 · −2k)〉 ϕ (· − k) +
fɛ, ϕ ∗ a ⊥ (2 · −2k) ψ (· − k)
k∈Z
k∈Z
=
a(ℓ) ϕ(· − k) ϕ (2t − ɛ) ϕ (2t − 2k − ℓ) dt
k,ℓ∈Z
R
= 1
2 δɛ,2k+ℓ
+
a
k,ℓ∈Z
⊥
(ℓ) ψ(· − k) ϕ (2t − ɛ) ϕ (2t − 2k − ℓ) dt
R
= 1
a (ɛ − 2k) ϕ(· − k) +
2
k∈Z
k∈Z
= 1
2 δɛ,2k+ℓ
(−1) ɛ a (1 − ɛ + 2k) ψ(· − k)
was nichts anderes als die explizite Schreibweise von (7.22) ist, die Projektion auf S2(ϕ)⊕S2(ψ)
hat also schon einmal die gewünschte Gestalt. Was wir noch zeigen müssen ist, daß tatsächlich
fɛ = gɛ ist. Dazu berechnen schreiben wir fɛ = gɛ ⊕ hɛ, 〈gɛ, hɛ〉 = 0 und erhalten, da die
Translate von ϕ und ψ eine Orthonormalbasis des von ihnen aufgespannten Raumes bilden, daß
hɛ 2
2 = 〈hɛ, hɛ〉 = 〈gɛ + hɛ, gɛ + hɛ〉 − 〈gɛ, gɛ〉 = fɛ 2
2
= 1 1
−
2 4
2
− gɛ2
|a (ɛ − 2k)| 2 +
|a (1 − ɛ + 2k)| 2
k∈Z
k∈Z
,
1 2
= − gɛ2 2