Approximationstheorie

7.3 Wavelets für orthonormale Skalierungsfunktionen 149
Wir werden nun Satz 7.12 zur Abwechslung mal “fourierfrei” beweisen, erstens wird der Beweis
auch nicht viel länger, zweitens ist er elementarer und drittens – warum nicht? Wir beginnen
mit zwei einfachen Beobachtungen über ψ.
Lemma 7.15 Ist ϕ orthonormal, dann gehört die Funktion ψ zu W1:
〈ψ, V0〉 = 0. (7.20)
Beweis: Für j ∈ Z ergibt sich, unter Verwendung von (7.19) und der Verfeinerungsgleichung
(7.6) die Rechnung
〈ψ, ϕ(· − j)〉 = ⊥
σ2 ϕ ∗ a , σ2 (τjϕ ∗ a)
=
a
k,ℓ∈Z
⊥
(k) a(ℓ) ϕ (2t − k) ϕ (2t − 2j − ℓ) dt
R
= 1
2 δk,ℓ+2j
=
a ⊥ (ℓ + 2j) a(ℓ) =
(−1) ℓ a(1 − ℓ − 2j) a(ℓ) =
(−1) 1−ℓ−2j a(ℓ) a(1 − ℓ − 2j)
ℓ∈Z
ℓ∈Z
= −
(−1) ℓ a(1 − ℓ − 2j) a(ℓ) = −〈ψ, ϕ(· − j)〉,
ℓ∈Z
also 〈ψ, ϕ(· − j)〉 = 0 und somit (7.20).
Lemma 7.16 Ist ϕ ∈ L2(R) eine orthonormale Skalierungsfunktion, dann hat das Wavelet ψ
orthonormale Translate:
〈ψ(· − j), ψ(· − k)〉 = δjk, j, k ∈ Z. (7.21)
Beweis: Für (7.21) genügt es wegen der Translationsinvarianz des Integrals, k = 0 anzunehmen
und man erhält dann ganz entsprechend mittels Lemma 7.13 für j ∈ Z, daß
〈ψ, ψ(· − j)〉 =
a
k,ℓ∈Z
⊥ (k) a ⊥
(ℓ) ϕ (2t − k) ϕ (2t − 2j − ℓ) dt
R
= 1
2
= 1
2
ℓ∈Z
a ⊥ (2j + ℓ) a ⊥ (ℓ) = 1
2
a (ℓ − 2j) a(ℓ) = δj0,
ℓ∈Z
ℓ∈Z
ℓ∈Z
= 1
2 δk,2j+ℓ
(−1) ℓ a (1 − 2j − ℓ) (−1) ℓ a(1 − ℓ)
was uns (7.21) liefert.
Wir sind also schon ganz schön weit, denn wir wissen nun, daß S2(ψ) einen Teilraum von
W1 aufspannt und daß die Translate von ψ sogar eine Orthonormalbasis von S2(ψ) sind. Was
noch fehlt, das ist die Inklusion W1 ⊆ S2(ψ), also, daß wir auch wirklich alle Funktionen von
W1 durch Linearkombinationen von Translaten von ψ darstellen können. Das erledigt uns das