Approximationstheorie

148 7 WAVELETS
schreiben läßt. Bezüglich der Skalierungsfunktionen und Wavelets heißt dies, daß jedes f ∈
Vj+k eine Darstellung
f = (ϕ ∗ cj) 2 j · k−1
+ (ψ ∗ dj+ℓ) 2 j+ℓ · , cj, dj+ℓ ∈ ℓ2(Z), (7.16)
ℓ=0
besitzt. Mit j = 0 und der Dichtheitsbedingung (7.1) liefert dann (7.16) für jede Funktion
f ∈ L2(R) die Wavelet–Darstellung
∞
f = ϕ ∗ c + (ψ ∗ dj) 2 j · , c, dj ∈ ℓ2(Z). (7.17)
Unser Hauptresultat in diesem Abschnitt ist der folgende Satz.
j=0
Satz 7.12 Zu jeder Skalierungsfunktion ϕ einer Multiresolution Analysis existiert ein zugehöriges
Wavelet ψ ∈ V1.
Der Beweis hat zwei wesentliche Zutaten: Zuerst einmal können wir, Satz 7.8 sei Dank, annehmen,
daß ϕ eine orthonormale Multiresolution Analysis erzeugt 189 denn die Existenz des
Wavelets ist ja unabhängig davon, welche Basis von V0 wir wählen. Außerdem wissen wir aus
(7.4), daß es eine Folge a ∈ ℓ(Z) gibt, so daß ϕ = σ2 (ϕ ∗ a). Für orthonormale Skalierungsfunktionen
haben diese Verfeinerungskoeffizienten noch eine interessante Eigenschaft.
Lemma 7.13 Ist ϕ ∈ L2(R) verfeinerbar bezüglich a ∈ ℓ2(R) und orthonormal, dann ist
a (k − 2j) a(k) = 2δj0, j ∈ Z. (7.18)
k∈Z
Beweis: Für j ∈ Z
a (k − 2j) a(k) =
a(ℓ) a(k) δℓ,k−2j
k∈Z
= 2
a(ℓ) a(k)
k,ℓ∈Z
k,ℓ∈Z
= 2〈ϕ, ϕ (· + j)〉 = 2δ0j
R
ϕ (2t − ℓ) ϕ (2t − k + 2j) dt = 2〈(ϕ ∗ a) (2·) , (ϕ ∗ k) (2 · +2j)〉
Jetzt können wir nämlich den Kandidaten für unser Wavelet sogar explizit angeben.
Definition 7.14 Zu einer orthonormalen Skalierungsfunktion ϕ ∈ L2(R) mit Verfeinerungsfolge
a ∈ ℓ2(Z) definiert man das Wavelet190 ψ ∈ L2(R) als
⊥
ψ := σ2 ϕ ∗ a , a ⊥ := (−1) (·) a (1 − ·) . (7.19)
189 Was wiederum nichts anderes bedeutet, als daß die Translate von ϕ orthonormal sind.
190 Wäre die Skalierungsfunktion nicht orthonormal, dann spricht man hier von einem Prewavelet. Diese Funktionen
sind nicht unbedingt orthogonal zu ϕ, haben dafür aber, im Gegensatz zu den wirklichen Wavelets immer
noch kompakten Träger.