Approximationstheorie

7.3 Wavelets für orthonormale Skalierungsfunktionen 147
Schon diese Komplexitätsüberlegungen sind ein guter Grund, sich “irgendwas” einfallen zu
lassen, um die komplizierte Darstellung nur für Funktionen zu verwenden, für die man sie auch
wirklich braucht. Und hier heißt das Stichwort “Projektionen”: Ist nämlich Pj : L2(R) → Vj
eine beliebige Projektion 188 , dann berechnen wir für ein f ∈ Vj+1 zuerst den “Vj–Anteil” als
Pjf und stellen dann f als
f = Pjf
∈Vj
+ (f − Pjf)
∈(Vj+1\Vj) ∪ {0}
dar. Nun besitzt L2(R) als Hilbertraum aber eine sehr natürliche Projektion, nämlich die orthogonale
Projektion, definiert durch 〈f − Pjf, Vj〉 = 0, die noch dazu den Vorteil hat, eine
Bestapproximation aus Vj zu sein, siehe (2.17) in Lemma 2.22.
Definition 7.10 1. Für j ∈ Z definieren wir den Waveletraum Wj = Vj+1 ⊖ Vj als das
orthogonale Komplement
Wj := {f ∈ Vj+1 : 〈f, Vj〉 = 0} . (7.13)
2. Die Funktion ψ ∈ V1 heißt Wavelet zur Skalierungsfunktion ϕ, wenn ψ orthogonal und
W0 = S2(ψ) ist.
Bemerkung 7.11 1. Definieren kann man bekanntlich viel! Daher müssen wir natürlich erst
mal beweisen, daß es zu jeder Skalierungsfunktion ϕ tatsächlich auch ein Wavelet gibt –
das wird die Hauptaufgabe in diesem Abschnitt sein!
2. Manche Leute unterscheiden auch zwischen Wavelets und orthogonalen Wavelets, bei uns
gehört Orthogonalität wie in [16] zur Definition des Wavelets.
3. Ist ψ ein Wavelet zu ϕ, dann gilt aber wieder
das heißt, auch die Waveleträume Wj sind Skalenräume.
Übung 7.7 Beweisen Sie (7.14) und zeigen Sie, daß
Wj := σ 2 j S2(ψ), j ∈ Z, (7.14)
{ϕ(· − k) : k ∈ Z} ∪ ψ 2 ℓ · −k : ℓ = 0, . . . , j − 1, k ∈ Z
eine Riesz–Basis von Vj ist. ♦
Die Schreibweise “Wj = Vj+1 ⊖ Vj” ist eine “saloppe” Umformung von Vj+1 = Vj ⊕ Wj, was
sich für beliebige j ∈ Z und k ∈ N als
Vj+k = Vj+k−1 ⊕ Wj+k−1 = Vj+k−2 ⊕ Wj+k−2 ⊕ Wj+k−1 = · · · = Vj ⊕
188 Zur Erinnerung: Eine Projektion P ist eine Abbildung mit P 2 = P .
k−1
Wj+ℓ (7.15)
ℓ=0