Approximationstheorie

146 7 WAVELETS
und da die Partialsummen der Fourierreihe c(−·) in L2(T) gegen ψ konvergieren 186 , ist c(−ξ) =
ψ(ξ), ξ ∈ R, und somit
φ = ψ ϕ = c(− ·) ϕ, also φ = −ϕ ∗ σ−1c,
weswegen wirklich φ ∈ S2(ϕ) liegt.
Übung 7.5 Zu f ∈ L2(T) sei c ∈ ℓ2(Z), definiert durch
c(k) = 1
2π
f(t) e −ikt dt, k ∈ Z,
sowie cn = χ[−N,N] c, n ∈ N. Zeigen Sie:
1. cn ist ein trigonometrisches Polynom der Ordnung n, also cn.
2. cn(− ·) ist Bestapproximation in L2(T):
T
f − cn(− ·)2 = min f − p2 .
p∈Tn
So nett das ganze auch aussieht, es hat durchaus praktische Nachteile: Wir kennen nämlich
nicht mehr unsere Skalierungsfunktion selbst, sondern nur noch deren Fouriertransformierte!
Natürlich kann man daraus die Funktion über die inverse Fouriertransformation erhalten 187 ,
aber sowas wie geschlossene Ausdrücke können wir uns schenken.
Übung 7.6 Bestimmen Sie die Fouriertransformierte der Orthonormalisierung der zentrierten
B–Splines Mk aus Übung 6.5. ♦
7.3 Wavelets für orthonormale Skalierungsfunktionen
Jede Multiresolution Analysis besteht ja aus einer verschachtelten Folge Vj ⊂ Vj+1, j ∈ Z,
von linearen Räumen. Dabei braucht man (wegen der “faktischen” halbzahligen Verschiebung)
dann, um eine Funktion aus Vj+1 darzustellen, ziemlich genau doppelt so viel Information wie
man für eine Funktion aus Vj benötigen würde. Das ist ja noch angebracht, wenn man es mit
f ∈ Vj+1\Vj zu tun hat, aber für ein f ∈ Vj ist die Darstellung in Vj schlichtweg zu kompliziert.
Beispiel 7.9 Betrachten wir nur einmal die von χ erzeugte Multiresolution Analysis; dann hat
χ ∈ V0 ⊂ Vj, j ∈ N, in so einem Vj die Darstellung
χ =
2j −1
k=0
1 χ 2 j · −k =: χ ∗ c 2 j · ,
für die die 2 j Koeffizienten c(k) = 1, k = 0, . . . , 2 j − 1, zu speichern sind.
186 Sie sind sogar Bestapproximationen der trigonometrischen Polynome, siehe Übung 7.5.
187 In L2 ist das ja alles verhältnismäßig harmlos . . .
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