Approximationstheorie

7.2 Orthogonale Skalierungsfunktionen 145
was für hinreichend großes n einen Widerspruch zu (7.10) darstellt. Die obere Grenze beweist
man entsprechend.
Übung 7.4 Beweisen Sie die diskrete Parseval–Identität:
c 2 = 1
√ 2π c 2,T . (7.12)
Aus (7.11) können wir nun mit dem in [16] so genannten 184 “Orthogonalisierungstrick” ersehen,
daß das mit der Orthogonalität “eigentlich” gar nicht so wild ist, sondern daß man eigentlich
nur die “falsche” Funktion zur Erzeugung des Translationsinvarianten Raums gewählt hat.
Satz 7.8 Ist ϕ ∈ L2(R) eine stabile Funktion 185 , dann gibt es eine Funktion φ ∈ S2 (ϕ), die
orthonormale Translate hat.
Beweis: Wir definieren eine Funktion ψ über ihre Fouriertransformierte
ψ = |ϕ(· + 2ℓπ)| 2
−1/2 1
,
B2 ≤ ψ 2 ≤ 1
,
A2 und setzen
Dann ist
φ 2 = 1
√ 2π
also φ ∈ L2(R) und
φ
φ (· + 2ℓπ)
ℓ∈Z
2
2
ℓ∈Z
= 1
√ 2π
φ = ϕ ∗ ψ, also φ = ϕ ψ
ϕ
ψ
2
≤ 1
√ 2π ϕ 2
ψ
=
ϕ
(· + 2ℓπ)
ℓ∈Z
ψ (· + 2ℓπ)
= b ψ(·)
2
∞
also hat φ nach (7.9) orthogonale Translate.
Setzen wir nun
c(k) := 1
ψ(ϑ) e
2π T
−ikθ dϑ,
der Vektor der Fourierkoeffizienten von ψ, dann ist
c 2 1
2 =
2π
2π
0
ℓ∈Z
|ϕ (ϑ + 2ℓπ)| 2 dϑ = 1
2π
≤
=
ψ
R
1
√ ϕ 2 =
2π A 1
A ϕ2 2
ℓ∈Z
φ (· + 2ℓπ)
2
= b ψ −2
|ϕ (ϑ)| 2 dϑ = ϕ 2
2 ,
184 Dies ist keine Rechtschreibreform sondern korrekt! O tempora, o orthographia . . .
185 Wir werden gelegentlich “stabile Funktion” anstelle des eigentlich korrekten “Funktion mit stabilen ganzzahligen
Translaten” verwenden – die Verwirrung sollte sich aber trotzdem in Grenzen halten.
= 1,
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