Approximationstheorie

144 7 WAVELETS
= 1
2π
= 1
2π
= 1
2π
2(ℓ+1)π
|ϕ(ϑ)|
ℓ∈Z
2ℓπ
2 e −i(j−k)ϑ dϑ
2π
|ϕ(ϑ + 2ℓπ)|
ℓ∈Z
0
2 e −i(j−k)ϑ e −2i(j−k)ℓπ
=1
2π
0
|ϕ(ϑ + 2ℓπ)| 2
e −i(j−k)ϑ dϑ,
ℓ∈Z
=:g(ϑ)
was der (j − k)–te Fourierkoeffizient der Funktion g ist. Bezeichnet also wieder gj den j–ten
Fourierkoeffizient von g, so ist, mit k = 0, Orthonormalität also dazu äquivalent, daß gj = δj0,
also g ≡ 1. Mit anderen Worten:
〈ϕ(· − j), ϕ(· − k)〉 = δjk, j, k ∈ Z ⇐⇒
|ϕ(· + 2ℓπ)| 2 ≡ 1. (7.9)
Stabilität geht ähnlich; hier sehen wir zuerst mal, daß nach (6.18) und (6.12) für beliebiges
c ∈ ℓ(Z)
ϕ ∗ c 2
2 =
1
∧
(ϕ ∗ c)
2π
2
1
1
= c ϕ2
2 2 = c(k) e
2π 2π R
k∈Z
−ikϑ
2
|ϕ(ϑ)|
2 =
dϑ
1
2π
c(k) e
2π 0
k∈Z
−ikϑ
2
|ϕ(ϑ + 2ℓπ)|
ℓ∈Z
2
dϑ =
=:g(ϑ)
1
2π
|c(ϑ)|
2π 0
2 g (ϑ) dϑ
Mittels dieser Identität und der “diskreten Parseval–Identität” (7.12), siehe Übung 7.4, läßt sich
dann die Stabilitätsbedingung (7.5) äquivalent in
umformen, woraus
A 2 c 2
2 ≤
2π
0
ℓ∈Z
|c(ϑ)| 2 g (ϑ) dϑ ≤ B 2 c 2
2 , c ∈ ℓ2(Z), (7.10)
A 2 ≤
ℓ∈Z
|ϕ(· + 2ℓπ)| 2 ≤ B 2
folgt. Denn hätte für ein ε > 0 die Menge
I: = ξ ∈ [0, 2π] :
|ϕ (ξ + 2ℓπ)| 2
≤ A − ɛ ⊂ [0, 2π],
ℓ∈Z
dϑ
(7.11)
positives Maß µ, dann gibt es eine Folge cn ∈ ℓ00(Z), so daß die trigonometrischen Polynome183 cn, n ∈ N, in L2(T) gegen χI− konvergieren. Dann ist
lim
n→∞ cn 2 =
χI− , aber lim cn ϕ 2 n→∞
2 ≤ A − ε,
183 Siehe die komplexe Definition in (1.4)!