Approximationstheorie

7.2 Orthogonale Skalierungsfunktionen 143
Ist nun darüberhinaus 181 ϕ ∈ L1(R), ist also ϕ eine stetige Funktion, dann erhalten wir, daß
ϕ(ξ) = ϕ(0)
∞
j=1
a (2 −j ξ)
2
Daraus können wir sofort ein paar Konsequenzen ableiten.
(7.8)
Proposition 7.7 Sei 0 = ϕ ∈ L1(R) verfeinerbar bezüglich a ∈ ℓ1(Z), das heißt ϕ =
σ2 (ϕ ∗ a), und es konvergiere das unendliche Produkt in (7.8). Dann
1. ist ϕ(0) = 0.
2. ist
2 = a(0) =
a(k).
Beweis: Wäre ϕ(0) = 0, dann liefert (7.8), daß ϕ = 0, also ϕ = 0; setzt man nun ξ = 0 in
(7.7), dann erhält man, daß
k∈Z
ϕ(0) = 1
a(0) ϕ(0) =⇒
2
1
a(0) = 1,
2
da ϕ(0) = 0.
Wäre übrigens |a(0)| < 1, dann konvergiert das unendliche Produkt gegen 0 und es wäre wieder
ϕ = 0, wäre |a(0)| > 1, dann divergiert das Produkt und ϕ wäre überall unendlich.
7.2 Orthogonale Skalierungsfunktionen
In den folgenden Kapiteln werden wir uns nur mit orthonormalen Skalierungsfunktionen auseinandersetzen,
da für diese die Definition und Berechnung der Wavelets wesentlich einfacher
ist. Dazu sehen wir uns erst einmal an, ob und inwiefern Orthonormalität182 eine Einschränkung
bedeutet.
Man kann sowohl Orthogonalität als auch Stabilität von ϕ relativ schön über die Fouriertransformierte
von ϕ beschreiben. Dazu verwendet man die Plancherel–Identität (6.18) und erhält,
daß ϕ genau dann orthonormale Translate hat, wenn für j, k ∈ Z
δjk = 〈ϕ(· − j), ϕ(· − k)〉 = ϕ (t − j) ϕ (t − k) dt
= 1
2π
(τ−j ϕ)
R
∧ (ϑ)
bϕ(ϑ)e −ijϑ
R
(τ−k ϕ) ∧
(ϑ)
bϕ(ϑ)e ikϑ
dϑ = 1
2π
|ϕ(ϑ)|
R
2 e −i(j−k)ϑ dϑ
181 Zum Beispiel, wenn ϕ kompakten Träger hat.
182 Ob wir uns nun mit Orthogonalität oder Orthonormalität auseinandersetzen, das ist nur eine Frage der Nor-
mierung und daher praktisch irrelevant.