Approximationstheorie

142 7 WAVELETS
2. die “Hutfunktion”
die die Verfeinerungsgleichung
⎧
⎨ x + 1, x ∈ [−1, 0],
ϕ(x) = 1 − x,
⎩
0
x ∈ [0, 1],
x ∈ R \ [−1, 1],
ϕ = 1
ϕ (2 · +1) + ϕ(2·)
2
∼[−1,0] ∼[− 1
+
1
, 2 2]
1
ϕ (2 · −1)
2
∼[0,1]
erfüllt, siehe auch Abb 7.2. Als Autokonvolution 180 der charakteristischen Funktion bleibt
der Hutfunktion ja auch gar nichts anderes übrig, als selbst verfeinerbar zu sein.
Daß alle B–Splines verfeinerbar sind, ist nun nicht weiter verwunderlich, wenn man die Verfeinerbarkeit
der charakteristischen Funktion und Übung7.2 in Betracht zieht.
Abbildung 7.2: Verfeinerung der Hutfunktion als “Überlagerung” Ihrer gestauchten und
verschobenen Kopien.
Übung 7.3 Zeigen Sie: Der B–Spline Nj ist verfeinerbar mit dem Vektor a ∈ ℓ(Z), der die von
Null verschiedenen Einträge
a(k) = 2 −j
j + 1
, k = 0, . . . , j + 1,
k
hat. ♦
Das führt zu einer netten Beobachtung, wie man (die Fouriertransformation) verfeinerbarer
Funktionen berechnen kann: Iteriert man nämlich die Formel (7.7), dann liefert das für ξ ∈ R
ϕ(ξ) = a(ξ/2)
2
ϕ(ξ/2) = a(ξ/2)
2
a(ξ/4)
2
180 Das “vornehme” Wort für “Faltung mit sich selbst”.
ϕ(ξ/4) = · · · = ϕ 2 −N ξ N
j=1
a (2−jξ) , N ∈ N.
2