Approximationstheorie

7.1 Multiresolution Analysis 141
Proposition 7.4 Erzeugt eine Funktion ϕ ∈ L2(R) eine Multiresolution Analysis, dann gibt es
eine Folge a ∈ ℓ2(Z), so daß ϕ die Verfeinerungsgleichung179 oder Zweiskalenbeziehung
ϕ = σ2 (ϕ ∗ a) =
a(k) ϕ (2 · −k) (7.6)
erfüllt. Alternativ kann man, die Verfeinerungsgleichung (7.6) auch als
schreiben.
k∈Z
ϕ(ξ) = 1
a (ξ/2) ϕ (ξ/2) , ξ ∈ R, (7.7)
2
Beweis: Wir zeigen zuerst, daß V1 von den Funktionen ϕ (2 · −k), k ∈ Z, erzeugt wird. Dazu
brauchen wir bloß zu bemerken, daß für jedes f ∈ V1 die Funktion f(·/2) zu V0 = S(ϕ) gehört,
daß also für ein passendes a ∈ ℓ(Z)
f(x/2) =
a(k) ϕ(x − k), x ∈ R,
k∈Z
und ersetzt man x durch 2x, dann erhält man, daß f ∈ σ2S(ϕ) liegt. Da insbesondere ϕ ∈ V0 ⊂
V1 = σ2S(ϕ) gibt es also ein a ∈ ℓ(Z), so daß ϕ = σ2 (ϕ ∗ a), was nichts anderes als (7.6) ist.
Die anderen beiden Eigenschaften folgen mit Satz 6.13.
Daß a zu ℓ2(Z) gehört, folgt schließlich aus der Tatsache, daß
ϕ 2 = σ2 (ϕ ∗ a) 2 = 1
√ 2 (ϕ ∗ a) 2 ≥ A √ 2 a 2 .
Übung 7.1 Zeigen Sie, daß a ∗ (e −i· ) = a ist und leiten Sie (7.7) aus (7.6) her. ♦
Definition 7.5 Eine Funktion ϕ, die eine Verfeinerungsgleichung der Form (7.6) erfüllt, heißt
verfeinerbar.
Übung 7.2 Zeigen Sie: Sind ϕ, ψ verfeinerbare Funktionen, dann ist ϕ∗ψ ebenfalls verfeinerbar.
♦
Beispiel 7.6 Einfache Beispiele für verfeinerbare Funktionen sind
1. die charakteristische Funktion χ von [0, 1]. Hier ist ja offensichtlich
179 Englisch: “refinement equation”.
χ = χ (2·) + χ (2 · −1) .
∼[0, 1
2]
∼[ 1
2 ,1]