Approximationstheorie

140 7 WAVELETS
4. Noch ein Wort zum Namen “Multiresolution”: Die Idee bei der Definition der Räume Vj
besteht darin, daß durch die immer feinere Skalierung der Funktionen in Vj für immer
größeres j, man Funktionen mit immer feineren Details darstellen kann und daß am jede
Funktion f ∈ L2(R) durch eine Folge fj ∈ Vj (mit immer mehr Details) beliebig gut
approximiere kann. Anders gesagt: Mit diesen Funktionen fj betrachtet man also wegen
des (möglicherweise) höheren Detailreichtums immer höher auflösende Näherungen von
f.
Beispiel 7.3 Die einfachste Multiresolution Analysis, die gleichzeitig auch den “Modellfall”
darstellt, wird von der Skalierungsfunktion ϕ = χ erzeugt. Die Räume Vj := σ2jS(χ), j ∈ Z,
sind dann nichts anderes als die stückweise konstanten Funktionen, genauer, die Treppenfunktionen,
die auf den dyadischen Intervallen [2−jk, 2−j (k + 1)] konstant sind, siehe Abb. 7.1. Wie
sieht es nun mit den Eigenschaften aus? Nun, die Bedingungen (7.2), (7.3) und (7.4) folgen
direkt aus der Definition der Vj, die Stabilität (7.5) ergibt sich aus
χ ∗ c 2
2 =
|χ(t − j) c(j)| 2 dt =
R
j∈Z
k∈Z
1
0
|χ(t − j + k)
=δjk χ(t)
c(j)| 2 dt =
k∈Z
|c(k)| 2 = c 2
2
sogar mit 178 A = B = 1. Schließlich ist auch die “Verschachtelung” Vj ⊂ Vj+1 klar und daß
Vj → L2(R) für j → ∞ ist die Dichtheit der Treppenfunktionen, wohingegen Vj → {0} für
j → −∞ auf der einfachen Tatsache beruht, daß die einzige konstante Funktion in L2(R) die
Nullfunktion ist.
j=0 j=1
Abbildung 7.1: “Typische” Funktionen aus V0 und V1 in Multiresolution Analysis, die von
χ erzeugt wird. Je höher der Index j wird, desto mehr wächst natürlich die Fähigkeit der
Funktionen, feinere Details darzustellen oder wiederzugeben.
Daß eine Funktion ϕ eine MRA erzeugt, stellt auch besondere Forderungen an diese Funktion,
und zwar, daß sie Lösung einer Funktionalgleichung ist.
178 Na gut, die Translate dieser Funktion sind wegen ihres disjunkten Trägers ja auch noch orthonormal, also
würde auch Bemerkung 7.2 reichen, aber es ist doch immer gut, eine zweite Meinung zu hören.