Approximationstheorie

7.1 Multiresolution Analysis 139
2. die Räume translationsinvariant sind, das heißt, wenn für j ∈ Z
f ∈ Vj ⇐⇒ f (· + k) ∈ Vj, k ∈ Z. (7.2)
3. die Räume Skalenräume sind, das heißt, wenn für j ∈ Z
4. V0 von einer Skalierungsfunktion ϕ erzeugt wird, also
f ∈ Vj ⇐⇒ f (2 · ) ∈ Vj+1 (7.3)
V0 = S2 (ϕ) = {ϕ ∗ c : c ∈ ℓ2(Z)} , (7.4)
wobei die Translate von ϕ sogar eine Riesz 177 –Basis von V0 bilden, das heißt, es gibt
Konstanten A, B > 0, so daß
A c ℓ2(Z) ≤ ϕ ∗ c L2(R) ≤ B c ℓ2(Z) , c ∈ ℓ2(Z). (7.5)
Bemerkung 7.2 1. Man kann eine MRA auch nur für Vj, j ∈ N0, definieren; einen wirklichen
Unterschied machen die immer niedriger auflösenden Räume eigentlich nicht, viel
“wichtiger” sind die Vj mit j ≥ 0.
2. Die Bedingung (7.5) bezeichnet man auch als die Stabilität von ϕ, genauer der Translate
von ϕ. Besonders einfache stabile Funktionen sind die, die orthonormale Translate haben,
denn dann ist
ϕ ∗ c 2
2
= 〈ϕ ∗ c, ϕ ∗ c〉 =
=
wir haben also sogar A = B = 1.
R
j∈Z
ϕ(t − j) cj
ϕ (t − j) ϕ (t − k) dt =
cj ck
j,k∈Z
R
=δjk
k∈Z
k∈Z
ϕ(t − k) ck
c 2 k = c 2
2 ,
3. Die Forderung nach Stabilität befreit uns auch von dem Dilemma translationsinvarianter
Räume, das wir in Proposition 6.5 durch die Einschränkung auf Funktionen mit kompaktem
Träger zu lösen versuchten. Hier folgt trivialerweise aus der Definition
Bilden die Translate von ϕ ∈ L2(R) eine Riesz–Basis, dann ist S2(ϕ) ⊂
L2(R).
177 Figyes (Frederic) Riesz, 1880–1956, und Marcel Riesz, 1886–1969, ungarisches Brüderpaar von Mathematikern,
die genau eine gemeinsame Arbeit verfasst haben, und zwar während des ersten Weltkriegs über das
Randverhalten analytischer Funktionen. Marcel Riesz gilt als einer der Väter der Funktionalanalysis und gründete
1922 zusammen mit dem uns auch bereits wohlbekannten Alfred Haar das “János Bolyai” Mathematik–Institut in
Szeged (Ungarn).
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