Approximationstheorie

138 7 WAVELETS
Weia!
Waga!
Woge, du Welle,
walle zur Wiege!
Wagalaweia!
Wallala weiala weia!
R. Wagner, Das Rheingold
Wavelets 7
Jetzt also zur “modernen” Approximationstheorie, nämlich zu Wavelets und deren Approximationsfähigkeit.
Wir wir gleich sehen werden, sind Wavelets ein Spezialfall von translationsinvarianten
Räumen. Auch wenn es nicht unbedingt notwendig ist, werden wir Wavelets hier
“nur” in L2(R) betrachten; dies beruht vor allem auf der Tatsache, daß wir es hier mit einem
Hilbertraum zu tun haben, dessen Norm auf dem inneren Produkt
〈f, g〉 := f(t) g(t) dt, f, g ∈ L2(R),
R
beruht; die komplexe Konjugation bringen wie mal vorsichtshalber ins Spiel, um auch Fouriertransformierte
gegeneinander integrieren zu können.
7.1 Multiresolution Analysis
Die diskreten Wavelets 174 führt man am besten über den Begriff der Multiresolution Analysis
ein, die auf Mallat zurückgeht, siehe z.B. [54].
Definition 7.1 Eine Folge Vj ⊂ L2(R), j ∈ Z, von linearen Räumen heißt Multiresolution
Analysis 175 , abgekürzt MRA, wenn
1. die Räume Vj verschachtelt 176 sind, das heißt, · · · V−1 ⊂ V0 ⊂ V1 ⊂ · · · ⊂ L2(R) und
wenn
gilt.
lim
j→−∞ Vj = {0} sowie lim Vj = L2(R). (7.1)
j→∞
174Im Gegensatz zur Wavelettransformation, die eher in die harmonische Analysis (Verallgemeinerungen der
Fourieranalysis) gehört.
175Man hat auch, in “deutschen” Kreisen, schon das grausige Unwort “Multiresolutions–Analyse” gehört, aber
da “Mehrauflösungsanalyse” auch nicht gut klingt, bleiben wir doch lieber beim englischen Terminus Technicus.
176Englisch “nested”.