Approximationstheorie
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12 1 WAS IST APPROXIMATIONSTHEORIE<br />
Beweis: Jede Funktion f ∈ C(T) kann mit einer Funktion f ∈ C [−π, π] mit der zusätzlichen<br />
Eigenschaft f(−π) = f(π) identifiziert werden und ist daher nicht nur stetig, sondern<br />
gleichmäßig stetig.<br />
Sei nun x ∈ [−π, π] vorgegeben. Dann ist, für jedes n ∈ N0 und jedes δ > 0<br />
<br />
<br />
|κn(f)(x) − f(x)| = <br />
=<br />
=<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
π<br />
−π<br />
|t|≤δ<br />
π<br />
−π<br />
f(x − t) Kn(t) dt −f(x)<br />
<br />
=f∗Kn<br />
<br />
<br />
<br />
(f(x − t) − f(x)) Kn(t) dt<br />
<br />
≤<br />
|f(x − t) − f(x)| Kn(t) dt +<br />
≤ sup |f(x − t) − f(x)|<br />
|t|≤δ<br />
π<br />
−π<br />
Kn(t) dt<br />
<br />
=1<br />
π<br />
−π<br />
<br />
|t|≥δ<br />
π<br />
−π<br />
<br />
<br />
Kn(t) dt<br />
<br />
=1<br />
|f(x − t) − f(x)| Kn(t) dt<br />
|f(x − t) − f(x)| Kn(t) dt<br />
+ max Kn(t)<br />
|t|≥δ<br />
≤ sup |f(x − t) − f(x)| + 4π f max<br />
|t|≤δ<br />
|t|≥δ Kn(t).<br />
π<br />
−π<br />
|f(x − t) − f(x)| dt<br />
<br />
≤4π f<br />
Für ein vorgegebenes ε > 0 können wir nun, wegen der gleichmäßigen Stetigkeit von f ein<br />
δ > 0 wählen, so daß |f(x − t) − f(x)| ≤ ε,<br />
und zwar unabhängig von x und dann wählen<br />
2<br />
wir, wegen der Lokalität von Kn, den Index n in Abhängigkeit von δ so groß, daß<br />
max Kn(t) <<br />
|t|≥δ<br />
ε<br />
8πf .<br />
Damit gibt es zu jedem ε > 0 einen Index n0 ∈ N0, so daß<br />
κn(f) − f < ε, n ≥ n0,<br />
womit (1.14) bewiesen ist. <br />
Beweis von Satz 1.9: Mit Satz 1.12 wird die Sache nun ziemlich einfach: Wir müssen nur<br />
noch nachweisen, daß die Fejérkerne eine approximative Identität bilden. Und in der Tat ist<br />
die Positivität offensichtlich aus (1.13), die Normiertheit folgt aus σk(1) = 1, k ∈ N0, denn<br />
deswegen gilt<br />
1 = σn(1) = 1<br />
n + 1<br />
n<br />
σk(1) = ϕn(1) = 1 ∗ Kn =<br />
k=0<br />
Da die Funktion sin t auf dem Intervall 0, π<br />
<br />
monoton steigend ist, ist<br />
2<br />
min<br />
t∈[−π,−δ]∪[δ,π]<br />
<br />
<br />
<br />
1<br />
sin 2 t<br />
<br />
<br />
<br />
<br />
= sin δ<br />
2<br />
π<br />
−π<br />
Kn(t) dt.