Approximationstheorie

12 1 WAS IST APPROXIMATIONSTHEORIE
Beweis: Jede Funktion f ∈ C(T) kann mit einer Funktion f ∈ C [−π, π] mit der zusätzlichen
Eigenschaft f(−π) = f(π) identifiziert werden und ist daher nicht nur stetig, sondern
gleichmäßig stetig.
Sei nun x ∈ [−π, π] vorgegeben. Dann ist, für jedes n ∈ N0 und jedes δ > 0
|κn(f)(x) − f(x)| =
=
=
π
−π
|t|≤δ
π
−π
f(x − t) Kn(t) dt −f(x)
=f∗Kn
(f(x − t) − f(x)) Kn(t) dt
≤
|f(x − t) − f(x)| Kn(t) dt +
≤ sup |f(x − t) − f(x)|
|t|≤δ
π
−π
Kn(t) dt
=1
π
−π
|t|≥δ
π
−π
Kn(t) dt
=1
|f(x − t) − f(x)| Kn(t) dt
|f(x − t) − f(x)| Kn(t) dt
+ max Kn(t)
|t|≥δ
≤ sup |f(x − t) − f(x)| + 4π f max
|t|≤δ
|t|≥δ Kn(t).
π
−π
|f(x − t) − f(x)| dt
≤4π f
Für ein vorgegebenes ε > 0 können wir nun, wegen der gleichmäßigen Stetigkeit von f ein
δ > 0 wählen, so daß |f(x − t) − f(x)| ≤ ε,
und zwar unabhängig von x und dann wählen
2
wir, wegen der Lokalität von Kn, den Index n in Abhängigkeit von δ so groß, daß
max Kn(t) <
|t|≥δ
ε
8πf .
Damit gibt es zu jedem ε > 0 einen Index n0 ∈ N0, so daß
κn(f) − f < ε, n ≥ n0,
womit (1.14) bewiesen ist.
Beweis von Satz 1.9: Mit Satz 1.12 wird die Sache nun ziemlich einfach: Wir müssen nur
noch nachweisen, daß die Fejérkerne eine approximative Identität bilden. Und in der Tat ist
die Positivität offensichtlich aus (1.13), die Normiertheit folgt aus σk(1) = 1, k ∈ N0, denn
deswegen gilt
1 = σn(1) = 1
n + 1
n
σk(1) = ϕn(1) = 1 ∗ Kn =
k=0
Da die Funktion sin t auf dem Intervall 0, π
monoton steigend ist, ist
2
min
t∈[−π,−δ]∪[δ,π]
1
sin 2 t
= sin δ
2
π
−π
Kn(t) dt.