Approximationstheorie

136 6 APPROXIMATION MIT TRANSLATIONSINVARIANTEN RÄUMEN
Nach der Taylor–Formel mit Integralrestglied,
(f − Tnf) (y) = 1
n!
siehe z.B. [29, S. 285] 173 oder Übung 6.9, ist somit
n h
λk (g(h·)) =
j pj(0)
j!(n − j)!
y
f
x
(n+1) (t) (y − t) n dt, f ∈ C n+1 (R), y ∈ R, (6.39)
j=0
hk
f
x
(n+1) (t) (hk − t) n−j dt. (6.40)
Jetzt können wir unsere Bausteinchen zusammensetzen! Da die Summe nur über solche Kombinationen
x, k läuft, für die x/h − k ∈ [0, N], also x − hk ∈ h[0, N], also |x − hk| ≤ Nh gilt,
können wir nun (6.37) nach x integrieren, (6.40) einsetzen, um so
f − Qhf p
p =
≤ N p−1
R
|f(x) − Qhf(x)| p dx
R
k∈x/h+(−N,0)
≤ ((n + 1)N) p−1
×
hj
x−hk
≤ ((n + 1)N) p−1 C p
0
λk (g(h·)) ϕ h −1 x − k p dx
R
k∈x/h+(−N,0) j=0
n
p
pj(0)
j!(n
− j)!
≤Cp ×
f (n+1) (x + t) (hk − x − t) n−j dt ϕ h −1 x − k
n
R
k∈x/h+[−N,0] j=0
× f (n+1) (x + t) p ϕ h −1 x − k p
≤ϕ p
∞
≤ (n + 1) p N p C p N p−1 N np 2 np ϕ p
∞
= C p
1h np h p−1
hN
0
=:C p
1
R
h jp |x − hk| p−1
≤(Nh) p−1
x−kh
0
dt dx
h np h p−1
f (n+1) (x) p dx dt = NC p
zu erhalten, was (6.31) mit der Konstanten
R
hN
C := 2 n N n+2 (n + 1) ϕ ∞
0
p
dx
(hk − x − t) n−j p
≤(2Nh) (n−j)p ≤(2N) np h (n−j)p
f (n+1) (x + t) p dt dx
1 h (n+1)p f (n+1) p
p
×
(6.41)
liefert.
Übung 6.9 Beweisen Sie die Taylor–Formel (6.39).
Hinweis: Partielle Integration. ♦
173 Wer hofft, dort die Lösung von Übung 6.9 zu finden, muß leider enttäuscht werden, denn es ist dort auch nur
als Übungsaufgabe aufgelistet.