Approximationstheorie

134 6 APPROXIMATION MIT TRANSLATIONSINVARIANTEN RÄUMEN
wobei die λk, k ∈ Z, noch zu bestimmende lineare Funktionale sind. Unser erstes Ziel besteht
darin, diejenigen Funktionale zu bestimmen, die dafür sorgen, daß Qh, eingeschränkt auf Πn die
Identität ist, das heißt, daß Qhp = p, p ∈ Πn, natürlich immer vorausgesetzt, daß ϕ die Strang–
Fix–Bedingungen der Ordnung n erfüllt. Unter dieser Voraussetzung garantieren Satz 6.24 und
Proposition 6.19 die Existenz von Polynomen pj ∈ Πj, j = 0, . . . , n, so daß
ϕ ∗ pj(x) = x j , x ∈ R. (6.32)
Und mit Hilfe dieser Polynome setzen wir unseren Quasiinterpolanten zusammen.
Lemma 6.30 Erfüllt ϕ die Strang–Fix–Bedingungen der Ordnung n, dann gilt für die Funktionale
n f
λk(f) :=
(j) (k)
pj(0),
j!
f ∈ C n (R) , k ∈ Z, (6.33)
daß
j=0
Qhp := ϕ ∗ λ(p) = p, p ∈ Πn. (6.34)
Beweis: Es genügt, denn Fall h = 1 zu betrachten: Ist nämlich Q1p = ϕ ∗ λ(p) = p, so ist
natürlich auch
Qh σ h −1p = (ϕ ∗ λ) h −1 · (σhσ h −1p) = (Q1p) h −1 · = σ h −1p,
und ersetzt man x durch hx in dieser Gleichung, so folgt Qhp = p.
Für ℓ ∈ Z und j = 0, . . . , n ist
(x − ℓ) j = (ϕ ∗ pj) (· − ℓ) =
ϕ (· − ℓ − k) pj(k) =
ϕ (· − k) pj (k − ℓ) (6.35)
k∈Z
Nun hat aber jedes p ∈ Πn an der Stelle ℓ die (endliche) Taylorentwicklung
p(x) =
n
j=0
p (j) (ℓ)
j!
(x − ℓ) j
Setzen wir nun (6.35) in (6.36) ein, dann erhalten wir, daß
p(x) =
n
j=0
p (j) (ℓ)
j!
= ϕ ∗ qℓ(x),
k∈Z
ϕ (· − k) pj (k − ℓ) =
k∈Z
n p
ϕ (· − k)
k∈Z
j=0
(j) (ℓ)
pj (k − ℓ)
j!
=:qℓ(k)
(6.36)
wobei qℓ ∈ Πn. Nach Übung 6.8 gilt dann für beliebige ℓ, ℓ ′ ∈ Z, daß qℓ = qℓ ′, also insbesondere
q0(k) = qk(k) =
n
j=0
p (j) (k)
j!
pj(0), k ∈ Z,