Approximationstheorie

6.4 Approximationsordnung 133
6.4 Approximationsordnung
Der Nutzen der Polynomerhaltung bei der Bestimmung der Approximationsgüte wird nun darin
liegen, daß wir die Tatsache ausnutzen, daß für eine hinreichend oft differenzierbare Funktion
f das Taylorpolynom
Tnf =
n
k=0
f (k) (x)
k!
(· − x) k
der Ordnung n ∈ N0 eine gute lokale Approximation der Funktion darstellt. Kann nun das
Taylorpolynom durch S(ϕ) exakt dargestellt werden, so muß nur noch dieser lokal recht kleine
Fehler approximiert werden und wenn man das mit der Lokalität von ϕ kombiniert (das heißt,
mit dem kompakten Träger von ϕ), dann kommen wir zu guten Abschätzungen für den Fehler
bei der Approximation aus S(ϕ). Nun, das ist die hehre Idee, bei deren Realisierung wir uns
natürlich schon noch mit den Details herumschlagen müssen.
Bemerkung 6.28 Mit
L n p(R) = f ∈ Lp(R) : f (n) ∈ Lp(R)
bezeichnen wir die Funktionen, die eine Ableitung in Lp besitzen. Bezüglich der Norm
f p,n =
n
(j)
f
p
ist L n p(R) dann ein Banachraum, in dem C n 00(R) dicht 169 liegt.
Nun können wir unser Approximationsresultat auch “schon” formulieren.
j=0
Satz 6.29 Die Funktion ϕ ∈ C00(R) erfülle die Strang–Fix–Bedingungen der Ordnung n. Dann
gibt es zu jedem f ∈ Ln+1 p (R) und h > 0 ein ch ∈ ℓ(Z), so daß
f − σ1/h (ϕ ∗ ch) ≤ C h p n+1 (n+1)
f . (6.31)
p
Wir können das auch noch anders sagen: Erfüllt ϕ die Strang–Fix–Bedingungen, dann erlaubt
S(ϕ) sehr gute Approximation an zwar nicht alle Funktionen170 , aber doch an differenzierbare
Funktionen. Und solche Sätze habe wir schon kennengelernt: Satz 6.29 ist nämlich nichts
anderes als das Gegenstück zu den Jackson–Sätzen für differenzierbare Funktionen, siehe Proposition
5.19.
Wir werden einen linearen Operator, der (6.31) erfüllt sogar explizit konstruieren, und zwar
einen sogenannten Quasiinterpolanten171 der Form
Qhf :=
λk (σhf) ϕ h −1 · −k =: (ϕ ∗ λ) h −1 · (σh f) , h > 0,
k∈Z
169 Natürlich wieder bezüglich der Norm · p,k.
170 Wer würde das auch erwarten?
171 Oder, wie G. G. Lorentz mal gesagt haben soll (sinngemäß): “Entweder der Operator interpoliert, dann ist er
ein Interpolant, oder er tut’s nicht, dann ist er kein Interpolant. Was also ist ein Quasiinterpolant?”