Approximationstheorie

132 6 APPROXIMATION MIT TRANSLATIONSINVARIANTEN RÄUMEN
3. Das ändert sich auch nicht groß, wenn wir in Verallgemeinerung von Übung 6.7 die immer
glatteren Funktionen
einführen, also
die sogar
ψj := χ ∗ · · · ∗ χ ∗ϕ = Nj−1 ∗ ϕ,
j
j ∈ N, ψ0 = ϕ, (6.30)
ψj(ξ) = ϕ(ξ) Nj−1(ξ) = 1 − e iξ 1 − e−iξ −iξ 1 − e
= 1 − e iξ 1 − e −iξ
iξ
j+1
iξ
= 1 − e iξ Nj(ξ),
(ℓ)
ψj (2kπ) = 0, ℓ = 0, . . . , j + 1, k ∈ Z \ {0}
erfüllen, aber wegen ψj(0) = 0 knapp an den Strang–Fix–Bedingungen scheitern.
Bemerkung 6.27 Die Funktionen ψj, j ∈ N0, aus (6.30), die, wie man sich leicht überzeugt,
stückweise Polynome vom Grad ≤ j mit globaler Differenzierbarkeitsordnung j−1 sind167 , sind
auch Beispiele, daß die “Komponente” ϕ(0) = 0 der Strang–Fix–Bedingungen auch notwendig
ist: Die anderen Bedingungen an den Stellen 2kπ, k ∈ Z \ {0} erfüllt nämlich ψj sogar von
der Ordnung j + 1 und müßte ja dann sogar Polynome der Ordnung j + 1 erzeugen können –
etwas abwegig, wie man sich leicht klarmachen kann, wenn man beispielsweise versucht, die
Funktion x durch stückweise konstante Funktionen zu kombinieren. Wer’s lieber bewiesen hat:
Da ψj stückweise zu Πj gehört, ist für ein x im Inneren dieser “Stücke” 168 ψ (j+1)
j (x − k) = 0
für alle k ∈ Z, also auch
(ψj ∗ c) (j+1) (x) =
ψ
k∈Z
(j+1)
j (x − k) ck = 0, c ∈ ℓ(Z),
=0
weswegen es kein c ∈ ℓ(Z) geben kann, so daß x j+1 = ψ ∗ c(x), x ∈ R.
Damit haben wir also das Problem, ob der Raum S(ϕ) Polynome einer bestimmten Ordnung
enthält oder nicht, ziemlich erschöpfend abgehandelt und über die Fouriertransformierte von ϕ
beschrieben. Es gibt natürlich auch detailliertere Beschreibungen, die mit schwächeren Voraussetzungen
als ϕ ∈ C00(R) auskommen, siehe z.B. [34], aber im Prinzip lebt alles davon, daß
man die Poissonsche Summenformel auf geeignete Art und Weise anwenden kann.
167 Es gilt also ψj ∈ C j−1
00 (R)!
168 Die ganzzahlige Intervalle sind!
iξ
j