Approximationstheorie

6.3 Polynomreproduktion und die Strang–Fix–Bedingungen 131
Für die andere Richtung, “⇐=”, verwenden wir nochmals (6.29) und erhalten, nach Einsetzen
der Strang–Fix–Bedingungen ϕ (j) (2kπ) = 0, k ∈ Z \ {0}, daß
k j ϕ(x − k)
k∈Z
= i j
j
j
ϕ
ℓ
ℓ=0
(ℓ) (0) (ix) j−ℓ +
i
k∈Z\{0}
j
j
= i
ℓ=0
j+ℓ
j
ϕ
ℓ
(j−ℓ) (0) x
=:cℓ
ℓ j
=
ℓ=0
j
ℓ=0
cℓ x ℓ ∈ Πj,
j
ϕ
ℓ
(ℓ) (2kπ)
=0
und da cj = (−1) j ϕ(0) = 0 ist 165 , ist deg p = j. Damit sind aber die Polynome
pj :=
k j ϕ(· − k), j = 0, . . . , n,
k∈Z
(ix) j−ℓ e 2iπkx
linear unabhängig und bilden demzufolge eine Basis von Πn. Insbesondere gilt dann aber auch
Πn ⊂ S(ϕ).
Beispiel 6.26 Hier ein paar Beispiele für Funktionen, die die Strang–Fix–Bedingungen erfüllen
(oder auch nicht):
1. Der (kardinale) B–Spline Nj erfüllt eine Strang–Fix–Bedingung der Ordnung j. Da
−iξ
Nj(ξ)
1 − e
=
iξ
j+1
=: ψ j+1 (ξ), also Nj(0) = 1
mit ψ(2kπ) = 0, hat Nj an 2kπ, k ∈ Z \ {0} eine Nullstelle der Ordnung j, also
(ℓ)
Nj (2kπ) = 0, ℓ = 0, . . . , j, k ∈ Z \ {0}.
Damit erfüllen die B–Splines die Strang–Fix–Bedingungen und besitzen die Fähigkeit zur
Polynomreproduktion.
2. Wie sieht es nun mit der Funktion ϕ aus Beispiel 6.20 aus? Da wir in L1 auch ϕ =
χ − χ(· + 1) schreiben können166 , erhalten wir, daß
ϕ(ξ) = χ(ξ) − e iξ χ(ξ) = 1 − e iξ 1 − e−iξ
.
iξ
An den Stellen 2kπ verschwinden also tatsächlich ϕ, was aber für die Probleme sorgt, ist
die Tatsache, daß hier auch ϕ(0) = 0 ist.
165Hier gehen wieder die Annahme ϕ ∗ 1 = 0 und die Poissonsche Summationsformel ein, genauer, Gleichung
(6.28).
166Funktionen in Lp–Räumen sind nur bis auf Menge vom Maß Null eindeutig bestimmt!