Approximationstheorie

130 6 APPROXIMATION MIT TRANSLATIONSINVARIANTEN RÄUMEN
Wir werden Satz 6.24 sogar in einer etwas allgemeineren Form beweisen, indem wir Erhaltung
polynomialer Räume für solche translationsivarianten Räume beweisen, die (6.25) erfüllen.
Satz 6.25 Sei ϕ ∈ C00(R) und ϕ ∗ 1(0) = 0. Dann ist
Πn ⊆ S(ϕ) ⇐⇒ ϕ (j) (2kπ) = 0, j = 0, . . . , n, k ∈ Z \ {0}. (6.27)
Satz 6.24 folgt nun aus Satz 6.25 als unmittelbare Anwendung der Poissonschen Summenformel
(6.20), denn erfüllt ϕ auch nur die Strang–Fix–Bedingungen der Ordnung 0, so ist
ϕ ∗ 1 =
ϕ(k) =
ϕ(2kπ) = ϕ(0) +
k∈Z
k∈Z
=0
k∈Z\{0}
ϕ(2kπ) = 0 (6.28)
=0
und Satz 6.24 ist gerade die Richtung “⇐=” von Satz 6.25.
Beweis von Satz 6.25: Beginnen wir mit der Richtung “=⇒”, für die wir die Voraussetzung
ϕ ∗ 1 = 0 noch nicht einmal brauchen werden. Dabei betrachten wir für j = 0, . . . , n und festes
x ∈ R die Funktion ψ(t) = (−t) j ϕ(x + t) und erhalten, da ψ ∈ C00(R), über die Poissonsche
Summenformel (6.20), (6.9) und (6.14), daß
also
p(x) :=
k j ϕ(x − k) =
ψ(k) =
ψ(2kπ) = j ∧
(−·) ϕ(· + x) (2kπ)
k∈Z
=
k∈Z
j dj
i
dξj
k j ϕ(x − k) =
i j
k∈Z
k∈Z
k∈Z
ixξ
ϕ(ξ)e (2kπ) =
i j
k∈Z
j
ℓ=0
k∈Z
ℓ=0
k∈Z
j
j
ϕ
ℓ
(ℓ) (2kπ) (ix) j−ℓ e 2iπkx ,
j
ϕ
ℓ
(ℓ) (2kπ) (ix) j−ℓ e 2iπkx , x ∈ R. (6.29)
Per Induktion über j können wir annehmen, daß alle Terme mit ℓ < j in der Summe auf der
rechten Seite verschwinden 163 , und so erhalten wir, daß für jedes x ∈ R
p(x) =
i j ϕ (j) (2kπ) e 2iπkx
k∈Z
ist. Die Funktion auf der linken Seite ist ein Polynom 164 in x nach Proposition 6.19, was auf der
rechten Seite steht hingegen periodisch mit Periode 1, da e 2ikπ = 1 für alle k ∈ Z und deswegen
bleibt p nichts anderes übrig, als konstant zu sein, was aber gerade ϕ (j) (2kπ) = 0 für k = 0
impliziert.
163 Der Induktionsanfang, j = 0, ist trivialerweise erfüllt, denn dann haben wir einfach keine Bedingung.
164 Vom Grad ≤ n, aber das ist eher sekundär.