Approximationstheorie

6.3 Polynomreproduktion und die Strang–Fix–Bedingungen 129
Übung 6.7 Zu der Funktion ϕ aus Beispiel 6.20 betrachten wir ψ = χ ∗ ϕ. Zeigen Sie:
1. Π1 ⊂ S (ψ).
2. Es gibt eine Funktion p ∈ Π1 mit deg p = 1 und deg ψ ∗ p < 1.
Und trotzdem brauchen wir gar nicht so viel mehr von ϕ zu fordern, nämlich nur, daß das, was
in Beispiel 6.20 gerade schiefgegangen ist, eben nicht passiert.
Korollar 6.21 Erfüllt ϕ neben den Voraussetzungen von Proposition 6.19 auch noch
0 = ϕ ∗ 1(0) =
ϕ(j), (6.25)
so ist deg ϕ ∗ p = deg p für alle p ∈ Πn.
Beweis: Nehmen wir der Einfachheit halber an, daß p(x) = x k + · · ·, k ≤ n, was man durch
geeignete Normierung ja immer erreichen kann. Daß deg ϕ ∗ p ≤ deg p = k ist, das wissen wir
ja schon aus Proposition 6.19. Würde aber die strikte Ungleichung “