Approximationstheorie

128 6 APPROXIMATION MIT TRANSLATIONSINVARIANTEN RÄUMEN
S(ϕ), dann ist für jedes p ∈ Πn auch 159
ϕ ∗ p =
ϕ (· − j) p(j) ∈ Πn und deg ϕ ∗ p ≤ deg p. (6.23)
j∈Z
Mit anderen Worten: “Produktion” und “Reproduktion” von Polynomen sind beinahe äquivalent.
Beweis: Sei Πn ∋ p = ϕ ∗ c für ein c ∈ ℓ(Z), das ja existieren muß, weil Πn ⊂ S(ϕ). Dann ist
ϕ ∗ p =
ϕ (· − j) p(j) =
ϕ (· − j)
ϕ(j − k) c(k)
j∈Z
j∈Z
=
ϕ (· − j − k) ϕ(j) c(k) =
j,k∈Z
ϕ(j)
j∈Z
ϕ (· − j − k) c(k)
k∈Z
ϕ∗c(·−j)=p(·−j)
=
ϕ(j) p(· − j). (6.24)
j∈Z
Ist nun p ∈ Πn, so ist auch p(· − j) ein Polynom 160 vom selben Grad wie p in Πn und da ϕ
kompakten Träger hat, ist die Summe auf der rechten Seite eine endliche Linearkombination
von Polynomen vom Grad ≤ deg p, also wieder in ein Polynom vom Grad ≤ deg p.
Was natürlich schön wäre, das wäre deg ϕ ∗ p = deg p in (6.23), nur leider können wir das nicht
erwarten, wie das folgende Beispiel zeigt.
Beispiel 6.20 Sei
dann ist
also Π0 ⊂ S(ϕ), aber
⎧
⎨
ϕ :=
⎩
k∈Z
−1, x ∈ [−1, 0),
1, x ∈ [0, 1),
0, sonst,
2 =
(−1) j ϕ(· − j),
j∈Z
ϕ ∗ 1 =
ϕ(· − j) = 0,
j∈Z
der Grad wird also echt “kleiner”! Nun gut, dieses Funktion ϕ ist ja auch nicht stetig, aber
erstens wurden im obigen Beweis ja eigentlich nur kompakter Träger und gleichmäßige Beschränktheit
von ϕ verwendet und zweitens kann man natürlich auch Beispiele höherer Ordnung
angeben. Die sind halt dann bloß nicht mehr so einfach.
159 Die Faltung in (6.23) ist zuerst einmal mehrdeutig! Da es aber nur genau ein Polynom gibt (welches?!), das
zu Lp(R) für irgendein 1 ≤ p < ∞ gehört, wollen wir Polynome immer nur im “diskreten Sinne” mit Funktionen
falten, also Polynome p hier als die “Vektoren” oder Folgen (p(j) : j ∈ Z) ∈ ℓ(Z) auffassen.
160 Ja, die Polynome von einem bestimmten Höchstgrad bilden einen endlichdimensionalen translationsinvarianten
Raum – wer häte gedacht, daß es so was gibt?