Approximationstheorie

1.2 Ein historisches Beispiel: Summation von Fourierreihen 11
Eine wichtige und fast nicht zu überschätzende Eigenschaft von Fn, die aus (1.13) folgt, ist
die Positivität des Kerns Fn und damit auch die Positivitäte des Operators ϕn, das heißt,
f ≥ 0 =⇒ ϕn(f) ≥ 0.
Bemerkung 1.10 Ein kurzer Vergleich der Kerne Dn und Fn aus Abb. 1.1 und Abb. 1.2 ist ganz
interessant: Beide Kerne haben ihr Maximum an t = 0, beide Kerne klingen zum Rand hin ab,
beide Kerne haben die Eigenschaft, daß ihr Integral den Wert 1 hat, aber trotzdem oszilliert Dn
so heftig, daß
π
−π
|Dn(t)| dt → ∞ während
ist. Was Positivität doch so alles ausmachen kann.
π
−π
|Fn(t)| dt =
π
−π
Fn(t) dt = 1
Eine besonders wichtige Klasse positiver Kerne wird durch die folgende Definition gegeben.
Definition 1.11 Eine Folge Kn ∈ C(T), n ∈ N0, von Kernen heißt approximative Identität,
wenn sie die folgenden Bedingungen erfüllt:
1. (Positivität) Kn ≥ 0, n ∈ N0,
2. (Normiertheit)
3. (Lokalität) Für jedes δ > 0 ist
π
−π
Kn(t) dt = 1, n ∈ N0,
lim
n→∞ max
|t|>δ Kn(t) = 0.
Und in der Tat sind approximative Identitäten approximative Identitäten in dem Sinn, daß
sie die Identität in der Operatornorm approximieren, daß also für die zugehörigen Operatoren
κn, definiert durch κn(f) = f ∗ Kn, die Grenzertaussage
lim
n→∞ κn = I
in der Operatornorm gilt, was wir auch wie folgt formulieren können.
Satz 1.12 Sei Kn, n ∈ N0, eine approximative Indentität. Dann ist, für jedes f ∈ C(T),
lim
n→∞ κn(f) − f = 0. (1.14)