Approximationstheorie

6.3 Polynomreproduktion und die Strang–Fix–Bedingungen 127
dann ist, unter Verwendung der inversen Fouriertransformation (6.15), nun plötzlich f ∈ Cu(R),
ja sogar f ∈ C α u (R). Trotzdem passen die beiden Enden wieder einmal nicht zusammen, es sei
denn, wir verwenden wieder die Plancherel–Identität (6.18) aus Satz 6.16 und die Tatsache,
daß die Fouriertransformierte auf L2(R) eine Isomorphie 156 ist, um Differenzierbarkeit für L2–
Funktionen über die Fouriertransformierte zu definieren.
Definition 6.18 Für α > 0 definieren die Sobolev157 –Klassen
W α
2 (R) = f ∈ L2(R) : (1 + | · |) α
f(·)
∈ L2(R) . (6.22)
Das minimale α > 0 für das (6.22) für ein gegebenes f ∈ L2(R) noch erfüllt ist, bezeichnet
man als kritischen Index von f.
Einen großen Unterschied gibt es aber zwischen der klassischen Differenzierbarkeit und der
Sobolev–Differenzierbarkeit: Erstere ist eine lokale Bedingung an die Funktion, während letztere,
wegen des Übergangs zur Fouriertransformierten eine globale Eigenschaft der Funktion f
ist.
6.3 Polynomreproduktion und die Strang–Fix–Bedingungen
In diesem Abschnitt befassen wir uns mit der Frage, wie gut man Funktionen mit den Räumen
Vh approximieren kann, und zwar in Abhängigkeit vom “Diskretisierungsparamter” h > 0. Es
ist ja noch ziemlich naheliegend, daß für h → ∞, also immer feinere Abtastung, die Ergebnisse
wohl immer besser werden und daß der Approximationsfehler sogar gegen Null gehen wird,
aber wir werden auch feststellen, daß dies umso schneller geht, je glatter die zu approximierende
Funktion ist – varausgesetzt, unser Raum S(ϕ) ist imstande, Polynome eines gewissen Grades
zu (re-)produzieren. Daß man dafür wirklich S(ϕ) braucht und nicht mit dem Teilraum Sp(ϕ)
auskommt, zeigt Übung 6.6.
Übung 6.6 Zeigen Sie: Hat ϕ ∈ Lp(R) kompakten Träger, dann ist Sp(ϕ) ∩ Π = {0}. ♦
Wir werden die Approximationsordnung in zwei Schritten angehen: Zuerst werden wir untersuchen,
wann die Translate unserer Funktio ϕ imstande sind, Polynome von einem bestimmten
Grad zu (re-)produzieren und dann werden wir uns ansehen, welche Folgen das für die Approximationseigenschaften
der Räume σ1/hS (ϕ) für h → 0 hat. Das mit dem “(re-)produzieren”
hat übrigens einen einfachen Grund, mit dem wir auch beginnen wollen.
Proposition 6.19 Ist ϕ ∈ C00(R) eine stetige Funktion mit kompaktem Träger 158 Ist Πn ⊂
√
156
−1
Zumindest bis auf die Konstante 2π .
157Sergei Lvovich Sobolev, 1908–1989, eine der ganz herausragenden Gestalten in der Theorie der partiellen
Differentialgleichungen.
158Auch wenn wir in der Norm von L2 approximieren, werden die Funktionen, mit denen wir das tun wollen,
doch zumeist zu C00(R) gehören; wenn diese Funktionen z.B. inverse Fouriertransformationen sein wollen, dann
bleibt ihnen ja sowieso nichts anderes übrig, als gleichmäßig stetig zu sein und wenn man “richtig” mit ihnen
rechnen will, dann muß man entweder kompakten Träger oder ziemlich flottes Abklingen fordern.