Approximationstheorie

126 6 APPROXIMATION MIT TRANSLATIONSINVARIANTEN RÄUMEN
ist g ∈ L1(T) und insbesondere wohldefiniert – die Summe in (6.21) divergiert nicht allzu
unmotiviert. Die Fourierkoeffizienten gk von g haben nun nach (1.3) die Form
gk = 1
g(t) e
2π
−ikt dt = 1
f (t + 2ℓπ) e
2π
−ikt dt = 1
f(t) e
2π
−ikt dt = 1
2π f(k)
T
T
ℓ∈Z
und, angenommen die Partialsummen der Fourierreihe von g würden konvergieren154 , erhalten
so, daß
1
f(k) =
2π
k∈Z
= g(0) =
f (0 + 2kπ) =
f (2kπ) ,
k∈Z
gk e ik0
=1
was die erste Identität liefert. Mit deren Hilfe und (6.10) ergibt sich dann, daß
f(k) =
k∈Z
k∈Z
σ(2π) −1f (2kπ) = 1
2π
k∈Z
k∈Z
R
k∈Z
σ(2π) −1f ∧ (k) =
k∈Z
f (2kπ) .
Schließlich werden wir die Fouriertransformation noch nutzen, um einen etwas anderen Begriff
der Differenzierbarkeit einzuführen, der nicht auf Eigenschaften der Funktion, sondern auf
Eigenschaften der Fouriertransformierten beruht. Um diese Idee zu motivieren, betrachten wir
einmal eine Funktion f ∈ L1(R), deren Ableitung ebenfalls zu L1(R) gehört. Da, nach (6.13),
(f ′ ) ∧ (ξ) = iξ f(ξ) und nach dem Riemann–Lebesgue–Lemma
0 = lim ′ ∧
(f ) (ξ)
= lim iξ
ξ→±∞
ξ→±∞
f(ξ) = lim
ξ→±∞ |ξ|
f(ξ)
ist, muß die (gleichmäßig stetige) Funktion f also die Eigenschaft
f(ξ) ≤ Cf (1 + |ξ|) −1 , ξ ∈ R,
für eine Konstante Cf > 0 haben155
– auf kompakten Intervallen ist ja
f(·) beschränkt und
außerhalb davon schlägt die asymptotische Aussage des Riemann–Lebesgue–Lemma durch.
Mit anderen Worten:
Ist f ∈ L1(R) differenzierbar, so ist
(1 + | · |)
f(·)
∞
< ∞.
Wie aber sieht’s mit der Umkehrung aus? Verlangen wir ein bißchen “mehr”, nämlich, daß
(1 + | · |) α
f(·)
< ∞, α > 0,
154 Ansonsten müssten wir ein Summationsverfahren, beispielsweise den Féjer–Kern verwenden.
155 Man beachte: Hier hängt die Konstante sehr wohl von f ab, nur eben nicht von ξ!
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